XV

a la luz de nuestra definición de límite. Tenemos $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 h x + h^{2}}{h} = \frac{h (2 x + h)}{h} .$

Ahora, al hallar el límite de $\frac{h (2 x + h)}{h}$ en el valor $0$ del argumento $h$ , el valor (si existe) de la función en $h = 0$ queda excluido. Pero para todos los valores de $h$ , excepto $h = 0$ , podemos dividir por $h$ . Por tanto, el límite de $\frac{h (2 x + h)}{h}$ en $h = 0$ es el mismo que el de $2 x + h$ en $h = 0$ . Ahora bien, cualquier estándar de aproximación $k$ que elijamos tomar, al considerar el intervalo de $- \frac{1}{2} k$ a $+ \frac{1}{2} k$ , vemos que, para los valores de $h$ que caen dentro de él, $2 x + h$ difiere de $2 x$ en menos de $\frac{1}{2} k$ , es decir, en menos de $k$ . Esto es cierto para cualquier estándar $k$ . De ahí que, en la vecindad del valor $0$ para $h$ , $2 x + h$ se aproxime a $2 x$ dentro de todo estándar de aproximación y, por consiguiente, $2 x$ sea el límite de $2 x + h$ en $h = 0$ . Por tanto, según lo dicho anteriormente, $2 x$ es el límite de $\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}$ en el valor $0$ para $h$ . Se sigue, pues, que $2 x$ es lo que hemos llamado la tasa de aumento de $x^{2}$ en el valor $x$ del argumento. Así, este método nos conduce a la misma tasa de aumento

para $x^{2}$ tal como lo hizo la forma leibniziana de hacer que $h$ se vuelva "infinitamente pequeña".

Los términos más abstractos «coeficiente diferencial»,

o "función derivada", son generalmente

utilizado para lo que hasta ahora hemos llamado la «tasa de incremento» de una función. La definición general es la siguiente: el coeficiente diferencial de la función $f (x)$ es el límite, si existe, de la función $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ del argumento $h$ en el valor $0$ de su argumento.

¿Cómo hemos logrado, mediante esta definición y la definición subsidiaria de límite, evitar realmente la noción de "números infinitamente pequeños" que tanto preocupaba a nuestros antepasados matemáticos? Para ellos, la dificultad surgía porque, por un lado, tenían que utilizar un intervalo de $x$ a $x + h$ sobre el cual calcular el incremento promedio y, por otro lado, finalmente querían establecer $h = 0$ . El resultado era que parecían verse abocados a la noción de un intervalo existente de tamaño cero. Ahora bien, ¿cómo evitamos esta dificultad? De esta manera: utilizamos la idea de que, en correspondencia con cualquier estándar de aproximación, se puede encontrar algún intervalo con tales o cuales propiedades. La diferencia es que nosotros tenemos

comprendieron la importancia de la noción de "la variable", y ellos no lo habían hecho. Por lo tanto,

Al final de nuestra exposición de las nociones esenciales del análisis matemático, nos vemos conducidos de nuevo a las ideas con las que en II. comenzamos nuestra investigación: que en matemáticas las ideas fundamentalmente importantes son las de «algunas cosas» y «cualesquiera cosas».