relación con x e y , las «constantes» a , b y c son constantes. Por tanto, a x + b y = c representa el ejemplo general de una determinada forma algebraica, es decir, una correlación variable perteneciente a una clase determinada.
De nuevo generalizamos a , o aún más a , o, todavía más, a .
Aquí de nuevo nos vemos conducidos a correlaciones variables que se indican mediante sus diversas formas algebraicas.
Pasemos ahora a la geometría. El nombre de la ciencia nos trae de inmediato a la mente la idea de figuras y diagramas que muestran triángulos, rectángulos, cuadrados y círculos, todos ellos en relaciones especiales entre sí. El estudio de las propiedades simples de estas figuras es el objeto de la geometría elemental, tal como se presenta correctamente al principiante. Sin embargo, un momento de reflexión bastará para demostrar que esta no es la verdadera concepción de la materia. Puede que sea correcto que un niño comience su razonamiento geométrico con formas, como triángulos y cuadrados, que ha recortado con tijeras. ¿Qué es, sin embargo, un triángulo? Es una figura delimitada y marcada por tres fragmentos de tres líneas rectas.
Ahora bien, la delimitación de espacios mediante fragmentos de líneas es una idea muy complicada, y en absoluto una que ofrezca esperanza alguna de exhibir las concepciones generales simples que deberían constituir la estructura básica de la materia. Queremos algo más simple y más general. Es esta obsesión con las ideas iniciales equivocadas —ideas muy naturales y buenas para la creación
de los primeros pensamientos sobre el tema, lo cual fue la causa de la esterilidad comparativa del estudio de la ciencia durante tantos siglos. La geometría analítica, y Descartes, su inventor, deben recibir el crédito de revelar los verdaderos objetos simples para el pensamiento geométrico.
En lugar de un fragmento de línea recta, pensemos en la totalidad de una línea recta a lo largo de su infinita extensión en ambas direcciones. Este es el tipo de idea general a partir de la cual comenzar nuestras investigaciones geométricas. Los griegos nunca parecieron encontrar utilidad a esta concepción, que hoy es fundamental en todo el pensamiento geométrico moderno. Euclides siempre contempla una línea recta como trazada entre dos puntos definidos, y es muy cuidadoso al mencionar cuándo debe prolongarse más allá de este segmento. Nunca piensa en la línea como una entidad dada de una vez por todas como un todo. Esta cuidadosa definición y limitación, para excluir un infinito que no fuera inmediatamente evidente a los sentidos, fue muy característica de los griegos en todas sus múltiples actividades. Está consagrada en la diferencia entre la arquitectura griega y la arquitectura gótica, y entre la religión griega y la religión moderna. La aguja de una catedral gótica y la importancia de la línea recta ilimitada en la geometría moderna son ambas emblemáticas de la transformación del mundo moderno.
La línea recta, considerada en su conjunto, es por consiguiente la idea fundamental de la que parte la geometría moderna. Pero entonces se nos ocurren otros tipos de líneas, y llegamos a la concepción de la curva completa que en cada uno de sus puntos exhibe alguna característica uniforme, tal como la línea recta exhibe en todos sus puntos la característica de la rectitud. Por ejemplo, existe el círculo que
en todos sus puntos exhibe la característica de estar a una distancia dada de su centro, y por otra parte está la elipse, que es un óvalo
curva, tal que la suma de las dos distancias de cualquier punto de ella a dos puntos fijos, llamados