Secciones cónicas
Cuando los geómetras griegos hubieron agotado,
a medida que reflexionaban, las propiedades más evidentes e interesantes de las figuras compuestas por líneas rectas y círculos, se volcaron al estudio de otras curvas; y, con su instinto casi infalible para dar con temas dignos de reflexión, se dedicaron principalmente a las secciones cónicas, es decir, a las curvas en las que los planos cortarían las superficies de los conos circulares. El hombre a quien debe atribuirse el mérito de haber inventado este estudio es Menecmo (nacido en 375 y
fallecido en 325 a. C.); fue discípulo de Platón y uno de los tutores de Alejandro Magno. Alejandro, dicho sea de paso, es una figura destacada
ejemplo de las ventajas de una buena enseñanza, pues otro de sus tutores fue el filósofo Aristóteles. Podemos sospechar que
Alejandro encontró a Menecmo un maestro bastante aburrido, pues se cuenta que le pidió el
pruebas para que sean más breves. Fue a esta petición a la que Menecmo respondió: «En el
país hay caminos privados e incluso reales, pero en la geometría solo hay un camino para todos". Esta respuesta, sin duda, era lo suficientemente cierta en el sentido en que Alejandro la habría entendido de inmediato. Pero si Menecmo pensaba que sus demostraciones no podían abreviarse, estaba gravemente equivocado; y la mayoría de los matemáticos modernos se aburrirían horriblemente si se vieran obligados a estudiar las demostraciones griegas de las propiedades de las secciones cónicas. Nada ilustra mejor la ganancia en potencia que se obtiene mediante la introducción de ideas relevantes en una ciencia que observar el progresivo acortamiento de las demostraciones que acompaña al crecimiento de la riqueza en ideas. Existe un cierto tipo de matemático que siempre se muestra bastante impaciente por detenerse en las ideas de una materia: está ansioso por pasar de inmediato a las demostraciones de problemas "importantes". La historia de la ciencia está totalmente en su contra. Existen caminos reales en la ciencia; pero quienes los recorren por primera vez son hombres de genio y
no reyes.
La forma en que las secciones cónicas se presentaron por primera vez a los matemáticos fue la siguiente: piénsese en un cono (v. [fig.] 15), cuyo vértice (o punto) es , apoyado sobre una base circular . Por ejemplo, una pantalla cónica para
una luz eléctrica es a menudo un ejemplo de tal superficie. Ahora, prolonguemos hacia atrás todas las líneas «generatrices» que pasan por V y yacen sobre la superficie; el resultado es un cono doble, y P Q R es otra sección transversal circular en el lado opuesto de V respecto a la sección transversal S T U . El eje del cono C V C ′ pasa por todos los centros de estos círculos y es perpendicular a sus planos, los cuales son paralelos entre sí. En el diagrama, las partes de las curvas que se supone que yacen detrás del plano del papel son líneas