VI

tipo de serie obtenida de este modo a partir de las fracciones, incluyendo siempre los números enteros, sería el mismo que el obtenido a partir de todos los números reales, enteros, fracciones e inconmensurables tomados en conjunto, es decir, a partir de todos los puntos de la recta O X . Todo lo que hemos dicho hasta ahora sobre la serie de las fracciones se aplica igualmente bien a la serie de todos los números reales. Pero existen diferencias importantes que procederemos a desarrollar ahora. La ausencia de los inconmensurables en la serie de las fracciones deja una ausencia de puntos finales para ciertas clases. Así, consideremos el inconmensurable 2 . En la serie de los números reales, este se sitúa entre todos los números cuyos cuadrados son menores que 2 y todos los números cuyos cuadrados son mayores que 2 . Pero si nos limitamos a la serie de las fracciones y no pensamos en los inconmensurables, de modo que no podamos incluir 2 , no existe ninguna fracción que tenga la propiedad de dividir la serie en dos partes de esta manera, es decir, de modo que todos los miembros de un lado tengan sus cuadrados menores que 2 y los del otro lado mayores que 2 . Por lo tanto, en la serie de las fracciones

existe una cuasi-brecha donde debería estar $\sqrt{2}$. Esta presencia de cuasi-brechas en la serie de fracciones puede parecer un asunto menor; pero cualquier matemático, que por casualidad lea esto, sabe que la posible ausencia de límites

o máximos a una clase de números, que sin embargo no se extiende a toda la serie de números, no es un mal menor. Es para evitar esta dificultad que se recurre a los inconmensurables, a fin de obtener una serie completa sin lagunas.

Existe otra diferencia aún más fundamental entre las dos series. Podemos reorganizar las fracciones en una serie como la de los números enteros, es decir, con un primer término, y de tal manera que cada término tenga un sucesor inmediato y (excepto el primer término) un predecesor inmediato. Podemos mostrar cómo se puede hacer esto. Escribamos cada término de la serie de fracciones y números enteros en forma fraccionaria escribiendo $\frac{1}{1}$ para $1$, $\frac{2}{1}$ para $2$, y así sucesivamente para todos los números enteros, excluyendo el $0$. Además, por el momento, consideraremos como distintas aquellas fracciones que tengan el mismo valor pero que no estén reducidas a sus términos mínimos; de modo que, por ejemplo, hasta nuevo aviso, $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{8}{12}$, etc., se considerarán todas como distintas. Ahora, agrupemos las fracciones en clases sumando el numerador y el denominador de cada término. Por brevedad, llamemos a esta suma del numerador y el denominador de una fracción su índice. Así, $7$ es

el índice de $\frac{4}{3}$, y también el de $\frac{3}{4}$, y el de $\frac{2}{5}$. Sean las fracciones de cada clase todas aquellas que tienen un índice especificado, el cual, por lo tanto, también puede llamarse índice de clase. Ahora, ordenemos estas clases según la magnitud de sus índices. La primera clase tiene el índice $2$, y su único miembro es $\frac{1}{1}$; la segunda clase tiene el índice $3$, y sus miembros son $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{1}$; la tercera clase tiene el índice $4$, y sus miembros son $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{1}$; la cuarta clase tiene el índice $5$, y sus miembros son $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{4}{1}$; y así sucesivamente. Es fácil ver que el número de miembros (incluyendo aún las fracciones que no están en sus términos más simples) que pertenecen a cualquier clase es uno menos que su índice. Además, los miembros de cualquier clase pueden ordenarse tomando como primer miembro la fracción con numerador $1$, el segundo miembro con numerador $2$, y así sucesivamente, hasta $(n-1)$, donde $n$ es el índice. Por tanto, para la clase de índice $n$, los miembros aparecen en el orden