XI

Funciones

El uso matemático del término función

también se ha adoptado en la vida cotidiana. Por ejemplo, «su temperamento es función de su digestión» utiliza el término exactamente en este sentido matemático. Significa que se puede asignar una regla que le dirá cuál será su temperamento cuando sepa cómo funciona su digestión. Por lo tanto, la idea de «función» es bastante sencilla; solo tenemos que ver cómo se aplica en matemáticas a los números variables. Pensemos primero en algunos ejemplos concretos: si un tren ha estado viajando a una velocidad de veinte millas por hora, la distancia ($s$ millas) recorrida después de cualquier número de horas, digamos $t$, viene dada por $s=20\times t$; y $s$ se llama función de $t$. Asimismo, $20\times t$ es la función de $t$ con la que $s$ es idéntica. Si Juan es un año mayor que Tomás, entonces, cuando Tomás tiene cualquier edad de $x$ años, la edad de Juan ($y$ años) viene dada por $y=x+1$; y $y$ es una función de $x$, concretamente, es la función $x+1$.

En estos ejemplos, $t$ y $x$ se denominan

«argumentos» de las funciones en las que aparecen. Por tanto, $t$ es el argumento de la función $20\times t$, y $x$ es el argumento de la función $x+1$. Si $s=20\times t$ y $y=x+1$, entonces $s$ y $y$ se denominan los «valores» de las funciones $20\times t$ y $x+1$ respectivamente.

Pasando ahora al caso general, podemos definir una función en matemáticas como una correlación entre dos números variables, llamados respectivamente el argumento y el valor de la función, de tal modo que, sea cual sea el valor que se asigne al «argumento de la función», el «valor de la función» queda determinado de forma definida (es decir, unívoca). Lo recíproco no es necesariamente cierto, a saber, que cuando el valor de la función está determinado, el argumento también quede determinado de forma unívoca. Otras funciones del argumento $x$ son $y=x^2$,

$y=2x^2+3x+1$, $y=x$, $y=\log x$, $y=\sin x$. Las dos últimas funciones de este grupo serán fácilmente reconocibles para aquellos que entiendan un poco de álgebra y trigonometría. No vale la pena detenerse ahora para explicarlas, ya que solo se citan a modo de ejemplo.

Hasta este punto, aunque hemos definido lo que entendemos por función en general, solo hemos mencionado una serie de funciones especiales. Pero la matemática, fiel a sus métodos generales de procedimiento, simboliza la idea general de cualquier función. Lo hace escribiendo

$F(x)$, $f(x)$, $g(x)$, $\varphi (x)$, etc., para cualquier función de $x$, donde el argumento $x$ se coloca entre paréntesis, y alguna letra como $F$, $f$, $g$, $\varphi$, etc., se antepone al paréntesis para representar la función. Esta notación tiene sus defectos. Así, obviamente choca con la convención de que las letras individuales deben representar números variables; puesto que aquí $F$, $f$, $g$, $\varphi$, etc., antepuestas a un paréntesis representan funciones variables. Sería fácil dar ejemplos en los que solo podemos confiar en el sentido común y el contexto para entender lo que se quiere decir. Una forma de evitar la confusión es usar letras griegas (p. ej., $\varphi$ como se indicó arriba) para las funciones; otra forma es limitarse a $f$ y $F$ (la letra inicial de función) para la letra funcional y, si se deben simbolizar otras funciones variables, tomar una letra adyacente como $g$.