XIII

x tenemos f ( x ) = f ( x + a ) , y (ii) no existe ningún número b menor que a tal que para cualquier valor de x , f ( x ) = f ( x + b ) .

La segunda cláusula se incluye en la definición porque cuando tenemos $\sin {\displaystyle \frac{2\pi x}{a}}$, no solo es periódica en el periodo $a$, sino también en los periodos $2a$ y $3a$, y así sucesivamente; esto surge dado que $\sin \frac{2\pi (x+3a)}{a}=\sin (\frac{2\pi x}{a}+6\pi )=\sin \frac{2\pi x}{a}.$ Por tanto, es el periodo más pequeño el que queremos obtener y llamar el periodo de la función. La mayor parte de la teoría abstracta de las funciones periódicas y la totalidad de las aplicaciones de la teoría a la ciencia física están dominadas por un importante teorema llamado teorema de Fourier; a saber, que si $f(x)$ es una

función periódica con periodo $a$ y si $f(x)$ también satisface ciertas condiciones, que en la práctica siempre se presuponen en las funciones sugeridas por los fenómenos naturales, entonces $f(x)$ puede escribirse como la suma de un conjunto de términos de la forma191

$$\begin{gathered} c_0+c_1\sin (\frac{2\pi x}{a}+e_1)+c_2\sin (\frac{4\pi x}{a}+e_2) \\ +c_3\sin (\frac{6\pi x}{a}+e_3)+\text{etc.} \end{gathered}$$

En esta fórmula, $c_0$, $c_1$, $c_2$, $c_3$, etc., y también $e_1$, $e_2$, $e_3$, etc., son constantes elegidas para adaptarse a la función en particular. De nuevo debemos preguntarnos: ¿Cuántos términos hay que elegir? Y aquí surge una nueva dificultad: pues podemos demostrar que, aunque en algunos casos particulares un número definido sea suficiente, en general todo lo que podemos hacer es aproximarnos tanto como queramos al valor de la función tomando cada vez más términos. Este proceso de aproximación gradual nos lleva a considerar la teoría de las series infinitas, una parte esencial de la teoría matemática que estudiaremos en el próximo capítulo.