II

y 2 = x , si x = 4 , y puede ser ± 2 , por lo tanto, para cualquier valor positivo de x existen valores alternativos para y . Asimismo, en la relación x + y > 1 , cuando se da x o y , queda un número indefinido de valores posibles para el otro.

Existe además otro punto importante que debe señalarse. Si nos limitamos a los números positivos, enteros o fraccionarios, al considerar la relación $x+y=1$, entonces, si tanto $x$ como $y$ son mayores que $1$, no existe ningún número positivo que el otro pueda adoptar para satisfacer la relación. Por lo tanto, el «campo» de la relación para $x$ está restringido a números menores que $1$, y de manera similar para el «campo» abierto a $y$. Consideremos ahora solo los números enteros, positivos o negativos, y tomemos la relación

$y^2=x$, satisfecho por pares de tales números. Entonces, cualquier valor entero que se le asigne a $y$, $x$ puede asumir un valor entero correspondiente. Por lo tanto, el «campo» para $y$ es ilimitado entre estos números enteros positivos o negativos. Pero el «campo» para $x$ está restringido de dos maneras. En primer lugar, $x$ debe ser positivo y, en segundo lugar, dado que $y$ debe ser entero, $x$ debe ser un cuadrado perfecto. En consecuencia, el «campo» de $x$ está restringido al conjunto de los números enteros $1^2$, $2^2$, $3^2$, $4^2$, etcétera, es decir, a $1$, $4$, $9$, $16$, etcétera.

El estudio de las propiedades generales de una relación entre pares de números se ve facilitado en gran medida por el uso de un diagrama construido de la siguiente manera: 1

Trácense dos rectas $OX$ y $OY$ en ángulo recto; sea cualquier número $x$ representado por $x$ unidades

(en cualquier escala) de longitud a lo largo de $OX$, cualquier número $y$ por $y$ unidades (en cualquier escala) de longitud a lo largo de $OY$. Así, si $OM$, a lo largo de $OX$, tiene $x$ unidades de longitud, y $ON$, a lo largo de $OY$, tiene $y$ unidades de longitud, al completar el paralelogramo $OMPN$ encontramos un punto $P$ que corresponde al par de números $x$ e $y$. A cada punto le corresponde un par de números, y a cada par de números le corresponde un punto. El par de números se denomina coordenadas del punto. Entonces, los puntos cuyas coordenadas satisfacen una relación fija pueden indicarse de una manera conveniente, trazando una línea, si todos ellos yacen sobre una línea, o sombreando un área si todos ellos son puntos en el área. Si la relación puede representarse mediante una ecuación tal como $x+y=1$, o $y^2=x$, entonces los puntos yacen sobre una línea, que es recta en el primer caso y curva en el segundo. Por ejemplo, considerando solo números positivos, los puntos cuyas coordenadas satisfacen $x+y=1$ yacen sobre la línea recta $AB$ en 1, donde $0A=1$ y $OB=1$. Así, este segmento de la línea recta $AB$ ofrece una representación pictórica de las propiedades de la relación bajo la restricción a números positivos.

Otro ejemplo de una relación entre dos variables se obtiene al considerar las variaciones en la presión y el volumen de una masa dada de alguna sustancia gaseosa, como el aire.

o gas de hulla o vapor, a una temperatura constante. Sea $v$ el número de pies cúbicos de su volumen y $p$ su presión en libras de peso por pulgada cuadrada. Entonces, la ley, conocida como ley de Boyle, que expresa la relación entre $p$ y $v$ a medida que ambas varían, es que el producto $pv$ es constante, suponiendo siempre que la temperatura no se altera. Supongamos, por ejemplo, que la cantidad de gas y sus otras circunstancias son tales que podemos establecer $pv=1$ (el número exacto en el lado derecho de la ecuación no supone una diferencia esencial). 2

Luego, en 2, tomamos dos líneas, $OV$ y $OP$, en ángulo recto y trazamos $OM$ a lo largo de $OV$ para representar $v$ unidades de volumen, y $ON$ a lo largo de $OP$