a $5$ dentro de cualquiera de los estándares $3.1$ o $3.01$ o $3.001$ . De nuevo, los números $3.1$ , $3.141$ , $3.1415$ , $3.14159$ se aproximan a $3.13102$ dentro del estándar $.032$ , y también dentro del estándar más pequeño $.03103$ .

Estas dos ideas de un intervalo y de

Las aproximaciones a un número dentro de un estándar son bastante sencillas; su única dificultad es que parecen un tanto triviales. Pero cuando se combinan con la siguiente idea, la del «entorno» de un número, forman la base del razonamiento matemático moderno. ¿Qué queremos decir al afirmar que algo es cierto para una función $f (x)$ en el entorno del valor $a$ del argumento $x$ ? Es esta noción fundamental la que ahora tenemos que precisar.

Se dice que los valores de una función $f (x)$ poseen una característica en el "entorno de $a$ " cuando se puede encontrar algún intervalo que (i) contenga al número $a$ sin que este sea un extremo, y (ii) sea tal que todo valor

de la función para argumentos distintos de $a$ que se encuentren dentro de ese intervalo posee la característica. El valor $f (a)$ de la función para el argumento $a$ puede o no poseer la característica. Nada se decide sobre este punto mediante las afirmaciones acerca del entorno de $a$ .

Por ejemplo, supongamos que tomamos la función particular $x^{2}$ . Ahora bien, en el entorno de $2$ , los valores de $x^{2}$ son menores que $5$ . Pues podemos encontrar un intervalo, por ejemplo, de $1$ a $2.1$ , que (i) contiene a $2$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) es tal que, para los valores de $x$ que se encuentran dentro de él, $x^{2}$ es menor que $5$ .

Ahora, combinando las ideas precedentes, sabemos lo que significa decir que en la vecindad de $a$ la función $f (x)$ se aproxima a $c$ dentro del estándar $k$ . Significa que se puede encontrar algún intervalo que (i) incluya a $a$ sin que sea un punto extremo, y (ii) sea tal que todos los valores de $f (x)$ , donde $x$ se encuentra en el intervalo y no es $a$ , difieran de $c$ en menos de $k$ . Por ejemplo, en la vecindad de $2$ , la función $\sqrt{x}$ se aproxima a $1.41425$ dentro del estándar $.0001$ . Esto es cierto porque la raíz cuadrada de $1.99996164$ es $1.4142$ y la raíz cuadrada de $2.00024449$ es $1.4143$ ; por lo tanto, para los valores de $x$ que se encuentran en el intervalo de $1.99996164$ a $2.00024449$ , el cual contiene a $2$ sin que sea un punto extremo, los valores de la función $\sqrt{x}$ se sitúan todos entre $1.4142$ y $1.4143$ , y

por lo tanto, todos ellos difieren de $1.41425$ en menos de $.0001$ . En este caso podemos, si lo deseamos, fijar un estándar de aproximación menor, a saber, $.000051$ o $.0000501$ . De nuevo, para tomar otro ejemplo, en la vecindad de $2$ la función $x^{2}$ se aproxima a $4$ dentro del estándar $.5$ . Pues $(1.9)^{2} = 3.61$ y $(2.1)^{2} = 4.41$ , y así se ha encontrado el intervalo requerido de $1.9$ a $2.1$ , que contiene a $2$ sin ser un punto extremo. Este ejemplo pone de manifiesto el hecho de que las afirmaciones sobre una función $f (x)$ en la vecindad de un número $a$ son distintas de las afirmaciones sobre el valor de $f (x)$ cuando $x = a$ . Se requiere la producción de un intervalo a lo largo del cual la afirmación sea verdadera. Así, el mero hecho de que $2^{2} = 4$ no nos justifica por sí mismo para decir que en la vecindad de $2$ la función $x^{2}$ es igual a $4$ . Esta afirmación sería falsa, porque no se puede producir ningún intervalo con la propiedad requerida. Además, el hecho de que $2^{2} = 4$ no nos justifica por sí mismo para decir que en la vecindad de $2$ la función $x^{2}$ se aproxima a $4$ dentro del estándar $.5$ ; aunque, de hecho, la afirmación acaba de demostrarse como verdadera.