Así pues, el verdadero método para estudiar geometría consiste en pensar en figuras simples e interesantes, tales como el triángulo, el paralelogramo y el círculo, e investigar las correlaciones entre sus diversas partes. El geómetra no tiene en mente una proposición aislada, sino una figura con sus diversas partes mutuamente interdependientes. Al igual que en el álgebra, generaliza el triángulo en el polígono, y el lado en
la sección cónica. O, siguiendo una ruta inversa, clasifica los triángulos según sean equiláteros, isósceles o escalenos, y los polígonos según su número de lados, y las secciones cónicas según sean hipérbolas, elipses o parábolas.
Los ejemplos precedentes ilustran cómo las ideas fundamentales de la geometría son exactamente las mismas que las del álgebra; excepto que el álgebra trata con números y la geometría con líneas, ángulos, áreas y otras entidades geométricas. Esta identidad fundamental es una de las razones por las que tantas verdades geométricas pueden vestirse con un ropaje algebraico. Así, si , y son los números de grados respectivos en los ángulos del triángulo , la correlación entre los ángulos está representada por la ecuación y si , , son los números de pies respectivos en los tres lados, la correlación entre los lados está representada por , , . Asimismo, las fórmulas trigonométricas citadas anteriormente son otros ejemplos de lo mismo.
hecho. Por tanto, la noción de variable y la correlación de variables es tan esencial en la geometría como lo es en el álgebra.
Pero el paralelismo entre la geometría y el álgebra puede llevarse aún más lejos, debido al hecho de que las longitudes, áreas, volúmenes y
los ángulos son todos medibles; de modo que, por ejemplo, el tamaño de cualquier longitud puede determinarse por el número (no necesariamente entero) de veces que contiene alguna unidad conocida arbitrariamente, y de manera similar para áreas, volúmenes y ángulos. Las fórmulas trigonométricas, dadas anteriormente, son ejemplos de este hecho. Pero recibe su aplicación culminante en la geometría analítica. A esta gran materia a menudo se la denomina erróneamente secciones cónicas analíticas, por lo cual
fijando la atención meramente en una de sus subdivisiones. Es como si la gran ciencia de la Antropología se llamara el Estudio de las Narices, debido al hecho de que las narices son una parte prominente del cuerpo humano.
Aunque los procedimientos matemáticos en la geometría y el álgebra son en esencia idénticos y están entrelazados en su desarrollo, existe necesariamente una distinción fundamental entre las propiedades del espacio y las propiedades del número; de hecho, toda la diferencia esencial entre el espacio y el número. La «espacialidad» del espacio y la «numerosidad» del número son cosas esencialmente diferentes, y deben ser aprehendidas directamente. Ninguna de las aplicaciones del álgebra a la geometría o de la geometría al álgebra da paso alguno en el camino de borrar esta distinción vital.
Una diferencia muy marcada entre el espacio y el número es que el primero parece ser mucho menos abstracto y fundamental que el
este último. El número de los arcángeles puede contarse precisamente porque son cosas. Una vez que sabemos que sus nombres son Rafael, Gabriel y Miguel, y que estos nombres distintos representan seres distintos, sabemos sin más cuestionamiento que hay tres de ellos. Todas las sutilezas del mundo sobre la naturaleza de las existencias angélicas no pueden alterar este hecho, aceptando las premisas.