El método anterior de expresar una periódica
la función como suma de senos se denomina «análisis armónico» de la función. Por ejemplo, en cualquier punto de la costa marina, las mareas suben y bajan periódicamente. Así, en un punto cercano al estrecho de Dover, habrá dos mareas diarias debido a la rotación de la Tierra. La subida y bajada diaria de las mareas se complica por el hecho de que existen dos ondas de marea: una que sube por el canal de la Mancha y otra que ha rodeado el norte de Escocia y ha descendido después hacia el sur por el mar del Norte. Por otra parte, algunas mareas altas son más altas que otras: esto se debe a que el Sol también tiene una influencia generadora de mareas, al igual que la Luna. De este modo, se introducen periodos mensuales y de otro tipo.
Prescindimos de la influencia excepcional de los vientos, que no puede preverse. El problema general del análisis armónico de las mareas consiste en hallar conjuntos de términos como los de la expresión de la [página] 191 anterior, de tal modo que cada conjunto proporcione con una precisión aproximada la contribución de las influencias generadoras de mareas de un «periodo» a la altura de la marea en cualquier instante. El argumento será, por tanto, el tiempo contado a partir de cualquier inicio conveniente.
De nuevo, el movimiento de vibración de una cuerda de violín se somete a un análisis armónico similar, y lo mismo ocurre con las vibraciones del éter y del aire, que corresponden respectivamente a las ondas de luz y a las ondas de sonido. Nos encontramos aquí ante uno de los procesos fundamentales de la física matemática; a saber, nada menos que su método general para tratar el gran hecho natural de la Periodicidad.