VI

$\frac{1}{n-1},\frac{2}{n-2},\frac{3}{n-3},\dots ,\frac{n-1}{1}.$ Los miembros de las cuatro primeras clases han sido, de hecho, mencionados en este orden. Así, el conjunto completo de fracciones ha sido ahora dispuesto en un orden similar al de los números enteros. Es el siguiente

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\left[\frac{2}{2}\right],\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\dots ,$

$\frac{n-1}{1},\frac{1}{n-1},\frac{2}{n-2},\frac{3}{n-3},\dots ,\frac{n-1}{1},\frac{1}{n},$

y así sucesivamente.

Ahora podemos deshacernos de todas las repeticiones de fracciones del mismo valor simplemente tachándolas cada vez que aparezcan después de su primera ocurrencia. En los pocos términos iniciales escritos arriba, $\frac{2}{2}$, que aparece encerrado arriba entre corchetes, es la única fracción que no está en su forma más simple. Ya ha aparecido antes como $\frac{1}{1}$. Por lo tanto, debe ser tachada. Pero la serie aún conserva las mismas propiedades, a saber: (a) hay un primer término, (b) cada término tiene vecinos inmediatos, (c) la serie continúa sin fin.

Se puede demostrar que no es posible

ordene toda la serie de números reales de esta manera. Este curioso hecho fue descubierto por Georg Cantor, un matemático alemán aún vivo; es de la mayor importancia en la filosofía de las ideas matemáticas. De hecho, estamos tocando aquí el límite de los grandes problemas del significado de la continuidad y del infinito.

Otra extensión de los números proviene de

la introducción de la idea de lo que ha sido denominado de diversas maneras como una operación o un paso, nombres que son respectivamente apropiados desde puntos de vista ligeramente diferentes. Comenzaremos con un caso particular. Consideremos

la afirmación $2+3=5$. Sumamos $3$ a $2$ y obtenemos $5$. Pensemos en la operación de sumar $3$: denotémosla como $+3$. De igual modo, $4-3=1$. Pensemos en la operación de restar $3$: denotémosla como $-3$. Así, en lugar de considerar los números reales en sí mismos, consideramos las operaciones de sumarlos o restarlos: en vez de $\sqrt{2}$, consideramos $+\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$, es decir, las operaciones de sumar $\sqrt{2}$ y de restar $\sqrt{2}$. Entonces podemos sumar estas operaciones, por supuesto en un sentido de suma diferente a aquel en el que sumamos números. La suma de dos operaciones es la operación única que tiene el mismo efecto que las dos operaciones aplicadas sucesivamente. ¿En qué orden deben aplicarse las dos operaciones? La respuesta es que es indiferente, ya que, por ejemplo, $2+3+1=2+1+3$; de modo que la suma de los pasos $+3$ y $+1$ es conmutativa.

Los matemáticos tienen la costumbre, desconcertante para quienes se dedican a rastrear significados, pero muy conveniente en la práctica, de utilizar el mismo símbolo en sentidos diferentes aunque afines. El único requisito esencial para un símbolo, a sus ojos, es que, cualesquiera que sean sus posibles variedades de significado, las leyes formales para su uso sean siempre las mismas. En

De acuerdo con este hábito, la suma de operaciones se denota mediante + al igual que la suma de números. Por consiguiente, podemos escribir ( + 3 ) + ( + 1 ) = + 4 ; donde el + central en el lado izquierdo