nuevo nos vemos aparentemente enfrentados a la idea de cantidades infinitamente pequeñas en el uso de las palabras «en el límite cuando ha disminuido indefinidamente». Leibniz sostenía que, por misterioso que pueda sonar, existían realmente tales cosas como cantidades infinitamente pequeñas y, por supuesto, números infinitamente pequeños correspondientes a ellas. El lenguaje y las ideas de Newton estaban más en la línea moderna; pero no logró explicar el asunto con la suficiente claridad como para que fuera evidente que hacía algo más que explicar las ideas de Leibniz en un lenguaje bastante indirecto. La verdadera explicación del tema fue dada por primera vez por Weierstrass y la Escuela de matemáticos de Berlín.
hacia mediados del siglo XIX. Pero entre Leibniz y Weierstrass había crecido una copiosa literatura, tanto matemática como filosófica, en torno a estas misteriosas cantidades infinitamente pequeñas que la matemática había descubierto y la filosofía procedido a explicar. Algunos filósofos,
El obispo Berkeley, por ejemplo, negó correctamente la validez de toda la idea, aunque por razones distintas a las indicadas aquí. Pero el hecho curioso seguía siendo que, a pesar de todas las críticas a los fundamentos de la materia, no podía haber duda de que la matemática
el procedimiento era sustancialmente correcto. De hecho, el tema era correcto, aunque las explicaciones fueran erróneas. Es esta posibilidad de estar en lo cierto, aunque sea con explicaciones totalmente equivocadas sobre lo que se está haciendo, lo que hace que la crítica externa —en la medida en que pretende detener la búsqueda de un método— sea tan a menudo singularmente estéril y fútil en el progreso de la ciencia. El instinto de los observadores formados y su sentido de la curiosidad, debido al hecho de que obviamente están llegando a algo, son guías mucho más seguras. De cualquier modo, el efecto general del éxito del Cálculo Diferencial fue generar una gran cantidad de mala filosofía, centrada en torno a la idea de lo infinitamente pequeño. Los vestigios de esta verborrea aún pueden encontrarse en las explicaciones de muchos libros de texto elementales de Cálculo Diferencial. Es una regla segura aplicar que, cuando un autor matemático o filosófico escribe con una profundidad brumosa, está diciendo tonterías.