Entre las propiedades de las funciones numéricas, existen varias de carácter general; y constituía una dificultad nada ordinaria, que requería una habilidad poco común, seleccionar una que pudiera, en todos los aspectos, ser preferible a las demás. Si la seleccionada por el Sr. Babbage ofrece o no las mayores ventajas prácticas, sería sumamente difícil de decidir —tal vez imposible, a menos que pudiera encontrarse a otro proyectista dotado de suficiente genio, y sostenido por suficiente energía de mente y de carácter, para intentar la invención de maquinaria de cálculo basada en otros principios. El principio seleccionado por el Sr. Babbage como base de esa parte de la maquinaria que calcula es el Método de las Diferencias; y de hecho ha trasladado literalmente este principio matemático a un mecanismo de ruedas. Para formarse una noción de la naturaleza de la maquinaria, será necesario, en primer lugar, transmitir al lector alguna idea del principio matemático al que se acaba de aludir.
Una tabla numérica, sea del tipo que fuere, es una serie de números que poseen algún carácter común, y que proceden aumentando o disminuyendo según alguna ley general.
Suponiendo que dicha serie aumente continuamente, imaginemos que cada número de ella se resta del que le sigue, y que los restos así obtenidos sucesivamente se disponen al lado del primero, de modo que formen otra tabla: a estos números se les llama primeras diferencias.
Si suponemos que estos asimismo aumentan continuamente, podemos obtener una tercera tabla a partir de ellos mediante un proceso similar, restando cada número del sucesivo: a esta serie se le llama segundas diferencias.
Adoptando un método de procedimiento similar, se puede obtener otra serie, llamada terceras diferencias; y así sucesivamente.
Continuando este proceso, obtendremos al fin una serie de diferencias, de algún orden, más o más bajo, según la naturaleza de la tabla original, en la cual encontraremos el mismo número constantemente repetido, por muy lejos que se haya continuado la tabla original; de modo que si la siguiente serie de diferencias se hubiera obtenido de la misma manera que las precedentes, cada término de ella sería 0.
En algunos casos esto continuaría por muy lejos que se llevara la tabla original; pero en todos los casos se obtendría una serie de diferencias, que continuaría constante durante una sucesión muy larga de términos.
Como las series sucesivas de diferencias se obtienen de la tabla original, y de las demás, por medio de la sustracción, esa misma sucesión de series puede reproducirse en sentido inverso por medio de la adición. Pero supongamos que se den el primer número de la tabla original y el de cada una de las series de diferencias, incluida la última: todos los números de cada una de las series podrán obtenerse a partir de ahí mediante el mero proceso de adición. El segundo término de la tabla original se obtendrá sumando al primero el primer término de la primera serie de diferencias; de igual modo, el segundo término de la primera serie de diferencias se obtendrá sumando al primer término el primer término de la tercera serie de diferencias, y así sucesivamente. Obtenidos de este modo los segundos términos de todas las series, los terceros términos podrán obtenerse mediante un proceso similar de adición; y así podrá continuarse la serie. Estas observaciones se comprenderán quizás con mayor claridad si se ilustran con un ejemplo numérico. El siguiente