Ecuaciones cuadráticas afectadas

Aquí, como en las ecuaciones simples, la $x$ representa un número desconocido.

1. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es $41$. Encuentra los números.

Sea $x$ un número, y $x+1$ el otro. Entonces $x^2+(x+1{)}^2$ es la suma de los cuadrados; pero $41$ es la suma de los cuadrados.

$$\begin{gathered} \therefore x^2+(x+1{)}^2\&=41. \\ {x}^2+x^2+2x+1\&=41. \\ 2x^2+2x\&=40. \\ {x}^2+x\&=20. \end{gathered}$$

La solución de esta ecuación da $x=4$, o bien $-5$.

La raíz positiva $4$ da para los números $4$ y $5$.

La raíz negativa $-5$ no es aplicable al problema, ya que se entiende que los números consecutivos son enteros que se suceden en la escala común: $1$, $2$, $3$, $4\dots$.

2. En cierto nido, siete veces el número de aves en el nido es igual al doble del cuadrado del número aumentado en $3$. Halla el número.

lint Sea x = el número de aves. lint Entonces 7x = $7$ veces el número lint y 2x^2 + 3 = el doble del cuadrado del número más $3$. Como estas dos expresiones son iguales, tenemos 2x^2 + 3 = 7x.

La solución de esta ecuación da $x=3$ o $x=\frac{1}{2}$.

El valor $\frac{1}{2}$ no es aplicable al problema, ya que el número de aves debe ser un número entero.

3. Un depósito tiene dos tubos. Por uno de ellos se puede llenar $6$ horas antes que por el otro, y por ambos juntos en $4$ horas. Hallar el tiempo que tardará cada tubo solo en llenarlo.

lint Sea x = el número de horas que le toma a la tubería más pequeña. lint Entonces x - 6 = el número de horas que le toma a la tubería más grande.

• Por lo tanto, 1x + 1x - 6 = la parte que ambos pueden llenar en una hora.
• Pero 14 = la parte que ambos pueden llenar en una hora.
• 1x + 1x - 6 = 14

La solución de esta ecuación da $x=12$ o $x=2$.

El valor $2$ no es aplicable al problema.

Por lo tanto, a un tubo le toma $12$ h y al otro $6$ h.

4. Una alfombra es $1$ yarda más larga que ancha. El número de yardas cuadradas en la alfombra es $12$. Hallar su longitud y su anchura.

lint Sea $x$ el número de yardas en el ancho. lint Entonces $x+1$ es el número de yardas en el largo linty $x(x+1)$ es el número de yardas cuadradas en la alfombra. lint Por lo tanto, $x(x+1)=12$.

La solución de esta ecuación da $x=3$ o $x=-4$.

Las dimensiones son, por lo tanto, $3$ yardas y $4$ yardas.