Raíces cúbicas de expresiones compuestas.

Extrae la raíz cúbica de $42875$.

$$\begin{gathered} rrrlll\&\&\&42\&875\&(35 \\ \&\&a^3=\&27 \\ \mathrm{\backslash cline}4-53a^2=\&3\times {30}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|2700\&15\&875 \\ 3ab=\&3\times (30\times 5)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|450 \\ {b}^2=\&5^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|25 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|3175\&15\&875 \\ \mathrm{\backslash cline}4-5 \end{gathered}$$

Como $42875$ tiene dos grupos, la raíz tendrá dos cifras.

El primer grupo, $42$, contiene el cubo de las decenas de la raíz.

El mayor cubo en $42$ es $27$, y la raíz cúbica de $27$ es $3$. Por lo tanto, $3$ es la cifra de las decenas de la raíz.

Restamos $27$ de $42$, y bajamos el siguiente grupo, $875$.

Puesto que $a$ es $3$ decenas o $30$, $3a^2=3\times {30}^2$, o $2700$.

Este divisor de prueba está contenido $5$ veces en $15875$.

El divisor de prueba se completa sumando $3ab+b^2$; es decir, $450+25$, al divisor de prueba.

El mismo método se aplicará a números de más de dos grupos de cifras, considerando en cada caso a $a$, la parte de la raíz ya hallada, como tantas decenas con respecto a la siguiente cifra de la raíz.

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Extraiga la raíz cúbica de $57512456$.

$$\begin{gathered} *3r*4l\&\&\&57\&512\&456\&(386 \\ \&\&a^3=\&27 \\ \mathrm{\backslash cline}4-53a^2=\&3\times {30}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|2700\&30\&512 \\ 3ab=\&3\times (30\times 8)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|720 \\ {b}^2=\&8^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|64 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|3484\&27\&872 \\ \mathrm{\backslash cline}4-6\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\phantom{0}2\&640\&456 \\ 3a^2=\&3\times {380}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|433200 \\ 3ab=\&3\times (380\times 6)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|6840 \\ {b}^2=\&6^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|36 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|440076\&\phantom{0}2\&640\&456 \\ \mathrm{\backslash cline}4-6 \end{gathered}$$

Extraiga la raíz cúbica de $187.149248$.

$$\begin{gathered} *3r@*4rl\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}2r187\text{.}\&149\&248\&(5.72 \\ \&\&a^3=\&\mathrm{\backslash multicolumn}2r125 \\ \mathrm{\backslash cline}4-63a^2=\&3\times {50}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|7500\&\&62\&149 \\ 3ab=\&3\times (50\times 7)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|1050 \\ {b}^2=\&7^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|49 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|8599\&\&60\&193 \\ \mathrm{\backslash cline}4-7\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&1\&956\&248 \\ 3a^2=\&3\times {570}^2=\&9747\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|00 \\ 3ab=\&3\times (570\times 2)=\&34\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|20 \\ {b}^2=\&2^2=\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|4 \\ \mathrm{\backslash cline}3-4\&\&9781\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|24\&1\&956\&248 \\ \mathrm{\backslash cline}5-7 \end{gathered}$$

Se verá por los grupos de cifras que la raíz tendrá una parte entera y dos decimales.

Si el número dado no es un cubo perfecto, se pueden agregar cifras, y se puede hallar un valor de la raíz tan próximo al valor verdadero como queramos.

Extraiga la raíz cúbica de $1250.6894$.

$$\begin{gathered} rrrcclll\&\&\&\&1\&\mathrm{\backslash multicolumn}3l\text{250.689,400,(10.77} \\ \&\&a^3\&=\&1 \\ \mathrm{\backslash cline}4-63a^2=\&\mathrm{\backslash PadTo}3\times (1070\times 7)3\times {10}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\phantom{0}\phantom{0}300\&\&\&250\&\phantom{999}\&\phantom{999} \end{gathered}$$

Como $300$ no está contenido en $250$, la siguiente cifra de la raíz será $0$.

$$\begin{gathered} rrr@ccrll3a^2=\&3\times {100}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|30000\&\&\phantom{0}\&250\&689 \\ 3ab=\&3\times (100\times 7)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|2100 \\ {b}^2=\&7^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|49 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|32149\&\&\&225\&043 \\ \mathrm{\backslash cline}4-8\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&25\&646\&400 \\ 3a^2=\&3\times {1070}^2=\&34347\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|00 \\ 3ab=\&3\times (1070\times 7)=\&224\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|70 \\ {b}^2=\&7^2=\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|49 \\ \mathrm{\backslash cline}3-4\&\&34572\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|19\&\&24\&200\&533 \\ \mathrm{\backslash cline}5-8\&\&\&\&\&1\&445\&867 \end{gathered}$$

Nótese que si $a$ denota el primer término, y $b$ el segundo término de la raíz, el primer divisor completo es $3a^2+3ab+b^2,$ y el segundo divisor de prueba es $3(a+b{)}^2$, es decir, $3a^2+6ab+3b^2.$

Esta expresión puede obtenerse sumando al divisor completo precedente, $3a^2+3ab+b^2$, su segundo término y el doble de su tercer término. Así: $$\begin{gathered} rr3a^2+3ab+\&b^2 \\ 3ab+\&2b^2 \\ \mathrm{\backslash cline}1-23a^2+6ab+\&3b^2 \end{gathered}$$