Progresión Geométrica.

Se dice que una serie de números está en progresión geométrica cuando el cociente de cualquier término dividido por el término precedente es el mismo en toda la serie.

Por lo tanto, $a$, $b$, $c$, $d$, etc., están en progresión geométrica si ${\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{c}{b}}={\displaystyle \frac{d}{c}}$, etc.

Este cociente se llama razón común, y se representa por $r$.

Indique la razón común de las siguientes series: $$\begin{gathered} r*4>r1,\&3,\&\phantom{-}9,\&27,\&\dots \\ 2,\&4,\&8,\&16,\&\dots \\ 16,\&8,\&4,\&2,\&\dots \\ \frac{2}{3},\&1,\&\frac{3}{2},\&\frac{9}{4},\&\dots \\ 4,\&-2,\&1,\&-\frac{1}{2},\&\dots \end{gathered}$$

Si el primer término de una progresión geométrica se representa por $a$, y la razón común por $r$, entonces

&\text{el \emph{segundo} término será~$ar$,} \ &\text{el \emph{tercer} término será~$a{r}^2$,} \ &\text{el \emph{cuarto} término será~$a{r}^3$,}

y así sucesivamente, siendo el índice de $r$ siempre menor en $1$ que el número del término en la serie.

De ahí que el término $n$-ésimo sea $a{r}^{n-1}$.

Si denotamos el $n$-ésimo término por $l$, tenemos que $l=a{r}^{n-1}.\text{Fórmula (1)}$

Si se dan el primer término y la razón común, o si se dan dos términos cualesquiera, podemos hallar la serie.

1. Encuentra el quinto término de una progresión geométrica si el primero es $3$ y la razón común es $2$.

En la fórmula (1), sustituya $n$ por $5$, $a$ por $3$ y $r$ por $2$.

Por lo tanto, el quinto término es $48$.

2. Halla la serie geométrica si el 5.° término es $48$ y el 7.° término es $192$.

El 5.º y el 7.º término son $a{r}^4$ y $a{r}^6$, respectivamente.

lint De donde ar^4 = 48, (1) linty ar^6 = 192. (2) lint Dividiendo (2) entre (1), r^2 = 4. r = ±2. lint De (1), a = 4816 = 3.

Por lo tanto, la serie es $3$, $\pm 6$, $12$, $\pm 24$, $\dots$.

176. Media geométrica.

Si tres números están en progresión geométrica, el número del medio se llama la media geométrica de los otros dos números.