Raíces cuadradas de expresiones compuestas

Se observará que cada divisor de prueba sucesivo puede obtenerse tomando el divisor completo precedente con su último término duplicado.

Ejercicio 78.

Halla la raíz cuadrada de: 1. $a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2$.

2. $x^4+2x^3+3x^2+2x+1$.

3. $x^4-4x^{3}y+6x^2{y}^2-4x{y}^3+y^4$.

4. $4a^4-12a^{3}b+29a^2{b}^2-30a{b}^3+25b^4$.

5. $16x^6+24x^{5}y+9x^4{y}^2-16x^3{y}^3-12x^2{y}^4+4y^6$.

6. $4x^6-4x^4{y}^2+12x^3{y}^3+x^2{y}^4-6x{y}^5+9y^6$.

181. Arithmetical Square Roots.

En el método general para extraer la raíz cuadrada de un número expresado por cifras, el primer paso es separar las cifras en grupos.

Dado que $1=1^2$, $100={10}^2$, $10.000={100}^2$, y así sucesivamente, es evidente que la raíz cuadrada de un número entre $1$ y $100$ se encuentra entre $1$ y $10$; la de un número entre $100$ y $10.000$ se encuentra entre $10$ y $100$.

En otras palabras, la raíz cuadrada de un número expresado por una o dos cifras es un número de una cifra, la de un número expresado por tres o cuatro cifras es un número de dos cifras, y así sucesivamente.

Si, por lo tanto, un número cuadrado perfecto se divide en grupos de dos cifras cada uno, de derecha a izquierda, el número de cifras de la raíz será igual al número de grupos de cifras. El último grupo de la izquierda puede tener una sola cifra.

Ej. Halla la raíz cuadrada de $3249$.

${rc@{}ll} &3&249&(57 \ &2&5 \ \cline{2-3} 107\,\rlap{)}&&749 \ &&749 \ \cline{3-3}$

En este caso, $a$ en la forma típica $a^2+2ab+b^2$ representa $5$ decenas, es decir, $50$, y $b$ representa $7$. El $25$ sustraído es en realidad $2500$, es decir, $a^2$, y el divisor completo $2a+b$ es $2\times 50+7=107$.

El mismo método se aplicará a números de más de dos grupos de cifras considerando que $a$, en la forma típica, representa en cada paso la parte de la raíz ya hallada.

Debe observarse que $a$ representa tantas decenas con respecto a la cifra siguiente de la raíz.

Ej. Halla la raíz cuadrada de $94.249$.

$$\begin{gathered} r*3c@l\&9\&42\&49\&(307 \\ \&9 \\ \mathrm{\backslash cline}2-4607\text{)}\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}2l4249 \\ \&\&\mathrm{\backslash multicolumn}2l4249 \\ \mathrm{\backslash cline}3-4 \end{gathered}$$