Progresión aritmética.

Se dice que una serie de números forma una progresión aritmética si la diferencia entre cualquier término y el término precedente es la misma en toda la serie.

Por tanto, $a$, $b$, $c$, $d$, etc., están en progresión aritmética si $b-a$, $c-b$, $d-c$, etc., son todos iguales.

Esta diferencia se llama la diferencia común de la progresión y se representa por $d$.

• Si $d$ es positiva, la progresión es una serie creciente;
• si $d$ es negativa, la progresión es una serie decreciente.

¿Cuál es la diferencia común en cada una de las siguientes sucesiones? $$\begin{gathered} r*4>r1,\&\phantom{-}4,\&7,\&10,\&\dots \\ 5,\&7,\&9,\&11,\&\dots \\ 10,\&9,\&8,\&7,\&\dots \\ 7,\&3,\&-1,\&-5,\&\dots \end{gathered}$$

If the first term of an arithmetical progression is represented by $a$ and the common difference by $d$, then {2} &\text{the \emph{second} term will be } && a + d, \ &\text{the \emph{third} term will be } && a + 2d, \ &\text{the \emph{fourth} term will be } && a + 3d, and so on, the coefficient of $d$ in each term being always less by $1$ than the number of the term.

De ahí que el término $n$-ésimo sea $a+(n-1)d$.

Si representamos el término $n$-ésimo mediante $l$, tenemos $l=a+(n-1)d.\text{Fórmula (1)}$

Por consiguiente, podemos encontrar cualquier término de una progresión aritmética si se dan el primer término y la diferencia común, o si se dan dos términos cualesquiera.

1. Halla el décimo término de una progresión aritmética si el primer término es $3$ y la diferencia común es $4$.

Por la fórmula (1), el décimo término es $3+(10-1)4$, o $39$.

2. Si el octogésimo término de una progresión aritmética es $25$, y el vigesimotercero es $70$, hágase la serie.

Por la fórmula (1), el término 23 es $a+22d$, y el término 8 es $a+7d$.

Por tanto, a + 22d = 70 y a + 07d = 25. [1] Restando, 15d = 45 y d = 3, de donde a = 4.

Por lo tanto, la serie es $4$, $7$, $10$, $13$, etc.

169. Media aritmética.

Si tres números están en progresión aritmética, el número del medio se llama la media aritmética de los otros dos números.