Raíces cúbicas de expresiones compuestas.

Puesto que el cubo de $a + b$ es $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , la raíz cúbica de $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ es $a + b$ .

Se requiere idear un método para extraer la raíz cúbica $a + b$ cuando se da $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Halla la raíz cúbica de $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

$r l < r c l l & & a^{3} & + & \multicolumn 1 @ r | 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} & a + b \cline 6 - 6 3 a^{2} & & a^{3} \cline 3 - 3 & + 3 a b + b^{2} & \multicolumn 1 @ r | & & 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \cline 1 - 3 3 a^{2} & + 3 a b + b^{2} & \multicolumn 1 @ r | & & 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \cline 4 - 5$

El primer término $a$ de la raíz es evidentemente la raíz cúbica del primer término $a^{3}$ de la expresión dada.

Si se resta $a^{3}$ , el resto es $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ; por lo tanto, el segundo término $b$ de la raíz se obtiene dividiendo el primer término de este resto entre tres veces el cuadrado de $a$ .

Además, dado que $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (3 a^{2} + 3 a b + b^{2}) b$ , el divisor completo se obtiene sumando $3 a b + b^{2}$ al divisor de prueba $3 a^{2}$ .

Halla la raíz cúbica de $8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$ .

$r l r l c l l & & & 8 x^{3} & + & \multicolumn 1 @ r | 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3} & 2 x + 3 y \cline 7 - 7 & 12 x^{2} & & 8 x^{3} \cline 4 - 4 (6 x + 3 y) 3 y = & & 18 x y + & \multicolumn 1 @ r | 9 y^{2} & & 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3} \cline 2 - 4 & 12 x^{2} & + 18 x y + & \multicolumn 1 @ r | 9 y^{2} & & 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3} \cline 5 - 6$

La raíz cúbica del primer término es $2 x$ , y este es, por tanto, el primer término de la raíz.

$8 x^{3}$ , el cubo de $2 x$ , se resta.

El segundo término de la raíz, $3 y$ , se obtiene dividiendo $36 x^{2} y$ entre $3 (2 x)^{2} = 12 x^{2}$ , lo cual corresponde a $3 a^{2}$ en la forma típica, y el divisor se completa añadiendo a $12 x^{2}$ la expresión $\{3 (2 x) + 3 y \} 3 y = 18 x y + 9 y^{2},$ que corresponde a $3 a b + b^{2}$ en la forma típica.

El mismo método puede aplicarse a expresiones más largas considerando que $a$ , en la forma típica $3 a^{2} + 3 a b + b^{2}$ , representa en cada etapa del proceso la parte de la raíz ya hallada.

Así, si la parte de la raíz ya hallada es $x + y$ , entonces $3 a^{2}$ de la forma típica estará representado por $3 (x + y)^{2}$ ; y si el tercer término de la raíz es $+ z$ , entonces $3 a b + b^{2}$ estará representado por $3 (x + y) z + z^{2}$ .

De modo que el divisor completo, $3 a^{2} + 3 a b + b^{2}$ , estará representado por $3 (x + y)^{2} + 3 (x + y) z + z^{2}$ .

Ej. Halla la raíz cúbica de $x^{6} - 3 x^{5} + 5 x^{3} - 3 x - 1$ .

$\ifthenelse ⧸ \boolean F o r P r i n t i n g * 2 r @ * 3 r * 4 l & & & \multicolumn 1 @ r | & x^{2} & \multicolumn 3 @ l - x - 1 \cline 5 - 6 & & & & x^{6} & - 3 x^{5} & \multicolumn 2 @ l + 5 x^{3} - 3 x - 1 & 3 x^{4} & & & x^{6} \cline 5 - 5 (3 x^{2} - x) (- x) = & & - 3 x^{3} & + & \multicolumn 1 @ r | x^{2} & - 3 x^{5} & + 5 x^{3} \cline 3 - 5 & 3 x^{4} & - 3 x^{3} & + & \multicolumn 1 @ r | x^{2} & - 3 x^{5} & + 3 x^{4} - x^{3} \cline 6 - 7 & & & & & \multicolumn 1 @ r | & - 3 x^{4} + 6 x^{3} - 3 x - 1 3 (x^{2} - x)^{2} = & 3 x^{4} & - 6 x^{3} & + & 3 x^{2} & \multicolumn 1 @ r | {$ (3x^{2} - 3x - 1) $} (- 1) = & & & - & 3 x^{2} & \multicolumn 1 l | + 3 x + 1 \cline 2 - 6 & 3 x^{4} & - 6 x^{3} & & & \multicolumn 1 l | + 3 x + 1 & - 3 x^{4} + 6 x^{3} - 3 x - 1 \cline 7 - 7$

El radical se coloca encima de la expresión dada porque no hay espacio para él en la página a la derecha de la expresión.

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