Factores Comunes y Múltiplos.

116. Factores comunes.

Un factor común de dos o más números enteros es un número entero que divide a cada uno de ellos sin resto.

Un factor común de dos o más expresiones íntegras y racionales es una expresión íntegra y racional que divide a cada una de ellas sin dejar residuo.

Por tanto, $5a$ es un factor común de $20a$ y $25a$, $3x^2{y}^2$ es un factor común de $12x^2{y}^2$ y $15x^3{y}^3$.

Se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen más divisor común que el $1$.

Se dice que dos expresiones son primas entre sí cuando no tienen ningún factor común excepto $1$.

El máximo común divisor de dos o más números enteros es el número mayor que puede dividir a cada uno de ellos sin dejar resto.

El máximo común divisor de dos o más expresiones enteras y racionales es una expresión entera y racional de mayor grado que las divide a cada una de ellas sin dejar residuo.

Por tanto, $3a^2$ es el máximo común divisor de $3a^2$, $6a^3$ y $12a^4$, y $5x^2{y}^2$ es el máximo común divisor de $10x^3{y}^2$ y $15x^2{y}^2$.

Por brevedad, usamos M. C. D. para «máximo común divisor».

122. Hallar el máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas.

1. Hallar el M. C. D. de $42a^3{b}^2$ y $30a^2{b}^4$. {2} &42a^{3}b^{2} &&= 2 × 3 × 7 × aaa × bb; \ &30a^{2}b^{4} &&= 2 × 3 × 5 × aa × bbbb. \ \therefore\ &\text{el M.\,C.\,D.} &&= 2 × 3 × aa × bb, \quad\text{o}\quad 6a^{2}b^{2}.

2. Halla el M. C. D. de $x^2-9y^2$ y $x^2+6xy+9y^2$. {2} &x^{2} - 9y^{2} &&= (x + 3y)(x - 3y); \ &x^{2} + 6xy + 9y^{2} &&= (x + 3y)(x + 3y). \ \therefore\ &\text{el M.\,C.\,D.} &&= (x + 3y).

3. Hallar el M. C. D. de $4x^2-4x-80$, $2x^2-18x+40$. {3} &4x^{2} -& 4x &- 80 &&= 4(x^{2} - x-20) \ &&& &&= 4(x - 5)(x + 4); \ &2x^{2} -& 18x &+ 40 &&= 2(x^{2} - 9x + 20) \ &&& &&= 2(x - 5)(x - 4). \ \therefore\ &\rlap{\text{el M.\,C.\,D.}} &&&&= 2(x - 5).

hallar el M. C. D. de dos o más expresiones, por lo tanto,

Descompón cada expresión en sus factores más simples.