XIII. Progresión aritmética

y comenzando con el último término será l , l − d , l − 2 d , etc. Por lo tanto,

{r*{12}{c}} s &=& a &+& (a + d) &+& (a + 2d) &+& \dots &+& (l - d) &+& l, \rlap{\quad\text{o}} \ s &=& l &+& (l - d) &+& (l - 2d) &+& \dots &+& (a + d) &+& a \ \hline 2s &=& (a + l) &+& (a + l) &+& (a + l) &+& \dots &+& (a + l) &+& (a + l) \ 2s &=& \multicolumn{11}{l}{\text{$(a+l)$ tomado tantas veces como \emph{términos} haya,}} \displaybreak[1] \ [b] 2s &= n(a + l), \ \text{y } s &= \frac{n}{2}(a + l).

\tag*{Fórmula (4)}

Sustituyendo $l$ por su valor $a+(n-1)d$, en la fórmula (4), tenemos

$$\begin{gathered} s\&=\frac{n}{2}\backslash \{a+a+(n-1)d\backslash \} \\ \&=\frac{n}{2}\backslash \{2a+(n-1)d\backslash \}\text{Fórmula (5)} \end{gathered}$$

1. Halla la suma de los primeros $16$ términos de la serie $5$, $7$, $9$, $11$.

lint Here a = 5, d = 2, n = 16. Putting these values in formula (5) we have s = 162(10 + 15 × 2) = 320

2. Demuestra que la suma de cualquier cantidad de números impares, comenzando por el $1$, es un número cuadrado.

La serie de los números impares es $1$, $3$, $5$, $7$, $\dots$.

lint Here a = 1 d = 2. Putting these values in formula (5) we have s = n2 \2 + (n - 1)2\ = n2 × 2n = n^2.

Por lo tanto, la suma de los primeros $5$ números impares es $5^2$ o $25$, la de los primeros $8$ números impares es $8^2$ o $64$, y así sucesivamente.

3. La suma de $20$ términos de una progresión aritmética es $420$, y el primer término es $2$. Hallar la diferencia común.

lint Aquí $s=420$, $n=20$, $a=2$. Sustituyendo estos valores en la fórmula (5), tenemos $420=\frac{20}{2}(4+19d)=40+190d$ $190d=380$ $d=2$.

Por lo tanto, la diferencia común es $2$.

Ejercicio 76.

1. Halla la suma de $3$, $5$, $7$, $\dots$, hasta $20$ términos.

2. Halla la suma de $14$, $14\frac{1}{2}$, $15$, $\dots$, hasta $12$ términos.

3. Halla la suma de $\frac{7}{6}$, $1$, $\frac{5}{6}$, $\dots$, hasta $10$ términos.

4. Halla la suma de $-7$, $-5$, $-3$, $\dots$, hasta $16$ términos.

5. Halla la suma de $12$, $9$, $6$, $\dots$, hasta $21$ términos.

6. Hallar la suma de $-10\frac{1}{2}$, $-9$, $-7\frac{1}{2}$, $\dots$, hasta $25$ términos.