Raíces cúbicas de expresiones compuestas.

El primer término de la raíz, $x^{2}$ , se obtiene tomando la raíz cúbica del primer término de la expresión dada; y el primer divisor de prueba, $3 x^{4}$ , se obtiene tomando tres veces el cuadrado de este término.

El siguiente término de la raíz se encuentra dividiendo $- 3 x^{5}$ , el primer término del residuo después de restar $x^{6}$ , entre $3 x^{4}$ , y el primer divisor completo, $3 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ , se encuentra añadiendo al divisor de prueba $(3 x^{2} - x) (- x)$ , cuya expresión corresponde a $(3 a + b) b$ en la forma típica.

La parte de la raíz ya hallada ( $a$ ) se representa ahora por $x^{2} - x$ , por lo tanto, $3 a^{2}$ está representado por $3 (x^{2} - x)^{2} = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2}$ , el segundo divisor de prueba, y $(3 a + b) b$ por $(3 x^{2} - 3 x - 1) (- 1)$ , ya que en este caso se encuentra que $b$ es $- 1$ ; por lo tanto, en el segundo divisor completo, $3 a^{2} + (3 a + b) b$ está representado por $(3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2}) + (3 x^{2} - 3 x - 1) (- 1) = 3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x + 1 .$

Exercise 80.

Encuentra la raíz cúbica de

$x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ .

$8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$ .

$64 a^{3} - 144 a^{2} x + 108 a x^{2} - 27 x^{3}$ .

$1 + 3 x + 6 x^{2} + 7 x^{3} + 6 x^{4} + 3 x^{5} + x^{6}$ .

$x^{6} - 3 x^{5} + 6 x^{4} - 7 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x + 1$ .

187. Raíces cúbicas aritméticas.

Al extraer la raíz cúbica de un número expresado en cifras, el primer paso es separarlo en grupos.

Como $1 = 1^{3}$ , $1000 = 10^{3}$ , $1, 000, 000 = 100^{3}$ y así sucesivamente, se deduce que la raíz cúbica de cualquier número entre $1$ y $1000$ , es decir, de cualquier número que tenga una, dos o tres cifras, es un número de una sola cifra, y que la raíz cúbica de cualquier número entre $1000$ y $1, 000, 000$ , es decir, de cualquier número que tenga cuatro, cinco o seis cifras, es un número de dos cifras, y así sucesivamente.

Si, por consiguiente, se divide un número cúbico entero en grupos de tres cifras cada uno, de derecha a izquierda, el número de cifras en la raíz será igual al número de grupos. El último grupo de la izquierda podrá constar de una, dos o tres cifras.

Si la raíz cúbica de un número tiene cifras decimales, el número mismo tendrá tres veces más. Por tanto, si $0.11$ es la raíz cúbica de un número, el número es $0.11 \times 0.11 \times 0.11 = 0.001331$ .

De ahí que, si un número dado contiene decimales, dividimos las cifras del número en grupos de tres cifras cada uno, comenzando en el punto decimal y avanzando hacia la izquierda para la parte entera, y hacia la derecha para la decimal. Debemos tener cuidado de que el último grupo a la derecha del punto decimal contenga tres cifras, añadiendo ceros cuando sea necesario.

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