Raíces cuadradas de expresiones compuestas

Dado que el cuadrado de $a+b$ es $a^2+2ab+b^2$, la raíz cuadrada de $a^2+2ab+b^2$ es $a+b$.

Se requiere encontrar un método para extraer la raíz $a+b$ cuando se da $a^2+2ab+b^2$.

Ej. El primer término, $a$, de la raíz es obviamente la raíz cuadrada del primer término, $a^2$, en la expresión. $$\begin{gathered} r*3crl\&\&a^2\&+\&2ab\&+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|b^2\&a+b \\ \mathrm{\backslash cline}8-8\&\&a^2 \\ \mathrm{\backslash cline}3-32a\&+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|b\&\&2ab\&+\&b^2 \\ \&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&2ab\&+\&b^2 \\ \mathrm{\backslash cline}4-7 \end{gathered}$$

Si se resta $a^2$ de la expresión dada, el resto es $2ab+b^2$. Por lo tanto, el segundo término, $b$, de la raíz se obtiene cuando el primer término de este resto se divide entre $2a$; es decir, entre el doble de la parte de la raíz ya hallada.

Además, dado que $2ab+b^2=(2a+b)b,$ el divisor se completa sumando al divisor de prueba el nuevo término de la raíz.

Ej. Halla la raíz cuadrada de $25x^2-20x^{3}y+4x^4{y}^2$.

${rcccrll} & && & 25x^{2} & \multicolumn{1}{@{}r|}{-20 x^{3}y + 4x^{4}y^{2}} & 5x - 2x^{2}y \ \cline{7-7} \text{Aquí $a^2$} &=& (5x)^{2} &=& 25x^{2} \ \cline{5-5} 2a + b &=& 10x &-& \multicolumn{1}{@{}r|}{2x^{2}y} & -20x^{3}y + 4x^{4}y^{2} \ & & & & \multicolumn{1}{@{}r|}{ } & -20x^{3}y + 4x^{4}y^{2} \ \cline{6-6}$

La expresión está ordenada según las potencias crecientes de $x$.

La raíz cuadrada del primer término es $5x$, por tanto $5x$ es el primer término de la raíz. $(5x{)}^2$ o $25x^2$ se resta, y el residuo es $-20x^{3}y+4x^4{y}^2.$

El segundo término de la raíz, $-2x^{2}y$, se obtiene dividiendo $-20x^{3}y$ entre $10x$, el doble de $5x$, y este nuevo término de la raíz también se añade al divisor, $10x$, para completar el divisor.

El mismo método se aplicará a expresiones más largas, si se tiene el cuidado de obtener el divisor de prueba en cada etapa del proceso, duplicando la parte de la raíz ya hallada, y de obtener el divisor completo añadiendo el nuevo término de la raíz al divisor de prueba.

Ej. Hallar la raíz cuadrada de $1+10x^2+25x^4+16x^6-24x^5-20x^3-4x.$

$\qquad\makebox [c]{${r*{2}{cr}lll} 16x^{6} &-& 24x^{5} &+& 25x^{4} &-20x^{3} + 10x^{2} &\multicolumn{1}{@{}r|}{- 4x + 1} & 4x^{3} - 3x^{2} + 2x - 1 \ \cline{8-8} 16x^{6} \ \cline{1-1} \multicolumn{1}{@{}r|}{\llap{$8x^3-3x^2$}} &-& 24x^{5} &+& 25x^{4} \ \multicolumn{1}{@{}r|}{}&-& 24x^{5} &+& 9x^{4} \ \cline{2-5} \multicolumn{4}{r|}{8x^{3} - 6x^{2} + 2x} & 16x^{4} &-20x^{3} + 10x^{2} \ & & & \multicolumn{1}{@{}r|}{ }& 16x^{4} &-12x^{3} + \phantom{0}4x^{2} \ \cline{5-6} \multicolumn{5}{r|}{8x^{3} - 6x^{2} + 4x - 1} &-\phantom{0}8x^{3} + \phantom{0}6x^{2} & -4x + 1 \ & & & & \multicolumn{1}{@{}r|}{}&-\phantom{0}8x^{3} + \phantom{0}6x^{2} & -4x + 1 \ \cline{6-7}$\}$

La expresión está ordenada según las potencias decrecientes de $x$.