De las proposiciones que se le atribuyen, la más famosa es, por supuesto, el teorema de que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Eucl. I., 47); y, dado que la tradición griega le atribuye universalmente la demostración de este teorema, preferimos creer que la tradición está en lo cierto.
Esto se ve confirmado hasta cierto punto por otra tradición según la cual Pitágoras descubrió una fórmula general para hallar dos números tales que la suma de sus cuadrados sea un número cuadrado. Esto depende de la teoría del gnomon, que al principio tenía una significación aritmética correspondiente a su uso geométrico en el libro II de Euclides. Una figura con forma de gnomon colocada alrededor de dos lados de un cuadrado lo convierte en un cuadrado mayor.
Ahora consideremos el número 1 representado por un punto. Alrededor de este lugar colocamos otros tres puntos de modo que los cuatro puntos formen un cuadrado (1 + 3 = 2²). Alrededor de los cuatro puntos (en dos lados adyacentes del cuadrado) colocamos cinco puntos a distancias regulares e iguales, y tenemos otro cuadrado (1 + 3 + 5 = 3²); y así sucesivamente. Los números impares sucesivos 1, 3, 5... fueron llamados gnomones, y la fórmula general es
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n².
Sumemos el siguiente número impar, es decir, 2n + 1, y tenemos n² + (2n + 1) = (n + 1)². Para obtener, pues, dos números cuadrados cuya suma sea un cuadrado, solo tenemos que ver que 2n + 1 sea un cuadrado.
Supongamos que 2n + 1 = m²; entonces n = ½(m² − 1), y tenemos {½ (m² − 1) }² + m² = {½ (m² + 1) }², donde m es cualquier número impar; y esta es la fórmula general atribuida a Pitágoras.
Proclo también atribuye a Pitágoras la teoría de las proporciones y la construcción de las cinco «figuras cósmicas», los cinco sólidos regulares.