cilindro. Tenemos que demostrar que C = 3V. Si C no es igual a 3V, es mayor o menor que 3V.
Supongamos (1) que C > 3V, y que C = 3V + E.
Continúe la construcción de prismas inscritos en el cilindro hasta que las partes del cilindro que queden fuera del prisma final (de volumen P) sumen en total menos de E.
| Entonces | C − P < E. |
|---|---|
| Pero | C − 3V = E; |
| Por lo tanto | P > 3V. |
Pero en proposiciones anteriores se ha demostrado que es igual a tres veces la pirámide con la misma base que el prisma y de igual altura.
Por tanto, esa pirámide es mayor que V, el volumen del cono: lo cual es imposible, puesto que el cono encierra a la pirámide.
Por lo tanto, C no es mayor que 3V.
A continuación (2) supóngase que C < 3V, de modo que, inversamente,
V > 1⁄3 C.
Esta vez inscribimos sucesivas pirámides en el cono hasta que llegamos a una pirámide tal que las porciones del cono que quedan fuera de ella suman juntas menos que el exceso de V sobre 1⁄3 C. De ello se deduce que la pirámide es mayor que 1⁄3 C. Por tanto, el prisma sobre la misma base que la pirámide e inscrito en el cilindro (el cual prisma es tres veces la pirámide) es mayor que C: lo cual es imposible, ya que el prisma está encerrado por el cilindro y, por consiguiente, es menor que él.
Por lo tanto, V no es mayor que 1⁄3 C, o C no es menor que 3V.