- De todas las líneas que tienen los mismos extremos, la recta es la menor (esto se ha tomado como base para una definición alternativa de línea recta).
- De las líneas desiguales, las superficies desiguales y los sólidos desiguales, el mayor excede al menor en una magnitud tal que, al ser añadida (continuamente) a sí misma, puede hacerse que exceda a cualquier magnitud dada entre aquellas que son comparables [con ella y] entre sí (es decir, que son de la misma especie).
Este es el Postulado de Arquímedes.
También presupone que, de los pares de líneas (incluidas las líneas quebradas) y de los pares de superficies, cóncavas en la misma dirección y limitadas por las mismas extremidades, la exterior es mayor que la interior. Estas suposiciones son fundamentales para su investigación, que avanza en todo momento mediante figuras inscritas y circunscritas a las líneas curvas o superficies que deben medirse.
Tras algunas proposiciones preliminares, Arquímedes halla (Props. 13, 14) el área de las superficies (1) de un cilindro recto, (2) de un cono recto. Luego, tras citar ciertas proposiciones de Euclides sobre conos y cilindros, pasa al asunto principal del libro, la medición del volumen y la superficie de una esfera y un segmento esférico.
Circunscribiendo e inscribiendo a un círculo máximo un polígono regular de un número par de lados y haciéndolo girar alrededor de un diámetro que une dos vértices opuestos, obtiene sólidos de revolución mayores y menores, respectivamente, que la esfera. En una serie de proposiciones halla expresiones para (a) las superficies, (b) los volúmenes, de las figuras así inscritas y circunscritas a la esfera.
A continuación demuestra (Prop. 32) que, si los polígonos inscrito y circunscrito que, por su revolución, generan las figuras son semejantes,