Sea 100.000.000² el primer número del tercer orden, y que esto se extienda hasta 100.000.000³; y así sucesivamente, hasta el orden miriada-miriada¹, comenzando con 100.000.000⁹⁹,⁹⁹⁹,⁹⁹⁹ y terminando con 100.000.000¹⁰⁰,⁰⁰⁰,⁰⁰⁰, al que por brevedad llamaremos P.
Formen todos los números de todos los órdenes hasta P el primer período, y empiece el primer orden del segundo período con P y termine con 100.000.000 P; empiece el segundo orden con este, el tercer orden con 100.000.000² P, y así sucesivamente hasta el 100.000.000.º orden del segundo período, terminando con 1.000.000.000100.000.000 P o P². El primer orden del tercer período empieza con P², y los órdenes continúan como antes.
Continuando con la serie de períodos y órdenes de cada período, llegamos finalmente al 100.000.000.° período que termina con el P100.000.000.
La prodigiosa magnitud de este sistema se aprecia si se considera que el último número del primer período estaría representado ahora por un 1 seguido de 800.000.000 de ceros, mientras que el último número del centésimo millónésimo período requeriría 100.000.000 de veces más ceros, es decir, 80.000 billones de ceros.
De hecho, Arquímedes no necesita, para expresar el «número de la arena», ir más allá del octavo orden del primer periodo. Los órdenes del primer periodo comienzan respectivamente con 1, 108, 1016, 1024, ... (108)99.999.999; y podemos expresar todos los números requeridos en potencias de 10.
Dado que el diámetro de una semilla de amapola no es menor que 1⁄40 de un dactylus , y las esferas guardan entre sí una proporción triplicada respecto a sus diámetros, una esfera de 1 dactylus de diámetro no es mayor que 64.000 semillas de amapola y, por lo tanto, no contiene más de 64.000 × 10.000 granos de arena y, a fortiori , no más de 1.000.000.000, o bien 10 9 granos de arena. Arquímedes multiplica el