vez con respecto a la diagonal de un cuadrado, que es incomensurable con el lado, al guardar con él una razón de √2 a 1. La demostración pitagórica de este caso particular sobrevive en Aristóteles y en una proposición interpolada en el Libro X de Euclides; se trata de una reductio ad absurdum que demuestra que, si la diagonal fuera comensurable con el lado, un mismo número tendría que ser par e impar al mismo tiempo.
Este descubrimiento de lo inconmensurable debía causar una gran conmoción a los geómetras, porque demostraba que la teoría de la proporción inventada por Pitágoras no era de aplicación universal y que, por tanto, las proposiciones demostradas mediante ella no estaban realmente establecidas. De ahí las historias de que el descubrimiento de lo irracional se mantuvo en secreto durante un tiempo y de que la primera persona que lo divulgó pereció en un naufragio.
El defecto fatal así revelado en el cuerpo de la geometría no fue subsanado hasta que Eudoxo (408-355 a. C.) descubrió la gran teoría de la proporción (expuesta en el Libro V de Euclides), la cual es aplicable tanto a magnitudes inconmensurables como conmensurables.
En la época de Hipócrates de Quíos, el alcance de la geometría griega ya ni siquiera se limitaba a los Elementos; también se abordaron ciertos problemas especiales que rebasaban las capacidades de la geometría de la línea recta y el círculo, y que estaban destinados a desempeñar un papel fundamental en la determinación del rumbo que tomaría la geometría griega en sus cotas más altas. Los principales problemas en cuestión eran tres: (1) la duplicación del cubo, (2) la trisección de un ángulo cualquiera, (3) la cuadratura del círculo; y desde la época de Hipócrates en adelante, la investigación de estos problemas prosiguió pari passu con la culminación del conjunto de los Elementos.
El propio Hipócrates es un ejemplo del estudio simultáneo de ambos departamentos. Por un lado, fue el primero de los griegos de quien se