Las prop. 21-23 muestran cómo inscribir y circunscribir a cualquier porción de las figuras espirales que constan de una multitud de elementos que son sectores circulares estrechos con el origen como centro; el área de la espiral es intermedia entre las áreas de las figuras inscrita y circunscrita, y mediante el método habitual de exhausción Arquímedes halla las áreas requeridas.
Prop. 24 da el área de la primera vuelta completa de la espiral (= 1⁄3π (2πa)², donde la espiral es r = aθ), y de cualquier porción de ella hasta OP, donde P es cualquier punto de la primera vuelta.
Las prop. 25 y 26 tratan de manera similar sobre la segunda vuelta de la espiral y sobre el área subtendida por cualquier arco (que no sea mayor que una vuelta completa) en cualquier vuelta.
La prop. 27 demuestra la interesante propiedad de que, si R1 es el área de la primera vuelta de la espiral delimitada por la línea inicial, R2 el área de la corona añadida por la segunda vuelta completa, R3 el área de la corona añadida por la tercera vuelta, y así sucesivamente, entonces R3 = 2R2, R4 = 3R2, R5 = 4R2, y así sucesivamente hasta Rn = (n − 1) R2, mientras que R2 = 6R1.
Cuadratura de la parábola.
El título de esta obra parece haber sido originalmente Sobre la sección de un cono rectángulo y haber cambiado después de la época de Apolonio, quien fue el primero en llamar parábola a dicho nombre. El prefacio dirigido a Dositeo fue evidentemente la primera comunicación de Arquímedes con él tras la muerte de Conon. Comienza con una alusión sentida a su amigo perdido, a quien el tratado iba a ser enviado originalmente.
Es en este prefacio donde Arquímedes alude al lema utilizado por geómetras anteriores como base del método de exheción (el Postulado de