doblando continuamente el número de lados; a continuación, demuestra de la manera ortodoxa mediante el método de exhausción que el área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el que la perpendicular es igual al radio, y la base igual a la circunferencia del círculo.
La Prop. 3 es la famosa proposición en la que Arquímedes halla mediante un puro cálculo los límites aritméticos superior e inferior de la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, o lo que llamamos ; el resultado obtenido es .
Arquímedes inscritas y circunscribe polígonos regulares sucesivos, comenzando con hexágonos, y duplicando el número de lados continuamente, hasta que llega a polígonos regulares inscritos y circunscritos de 96 lados; viendo entonces que la longitud de la circunferencia del círculo es intermedia entre los perímetros de los dos polígonos, calcula los dos perímetros en función del diámetro del círculo.
Su cálculo se basa en dos aproximaciones cercanas (una superior y otra inferior) al valor de √3, siendo esta la cotangente del ángulo de 30°, a partir de la cual comienza a trabajar. Asume como conocido que 265/153 < √3 < 1351/780. En el texto, tal como lo tenemos, solo se dan los resultados de los pasos del cálculo, pero estos implican el hallazgo de aproximaciones a las raíces cuadradas de varios números grandes: así, se da 11721⁄8 como el valor aproximado de √(137394333⁄64), 3013¾ como el de √(9082321) y 18389⁄11 como el de √(3380929).
De este modo, Arquímedes llega a 14688 / 4673½ como la razón entre el perímetro del polígono circunscrito de 96 lados y el diámetro del círculo; esta es la cifra que redondea a 31⁄7.
La figura correspondiente para el polígono inscrito es 6336 / 2017¼, que, según dice, es > 310⁄71.