“pues si son desiguales harán que el cono sea irregular por tener muchas hendiduras, a modo de escalones, e irregularidades, mas, si son iguales, el cono parecerá tener la propiedad del cilindro y estar compuesto de círculos iguales, no desiguales, lo cual es muy absurdo”.
Esta explicación muestra que Demócrito ya iba tras la pista de los infinitesimales.
Arquímedes dice además que el teorema de que las esferas están en la razón triplicada de sus diámetros fue demostrado por medio del mismo lema. Las demostraciones de las proposiciones sobre los volúmenes de pirámides, conos y esferas están, por supuesto, contenidas en el Libro XII de Euclides (Proposiciones 3-7 Cor., 10, 16-18 respectivamente).
Sin duda es conveniente ilustrar el método de Eudoxo con un ejemplo. Tomaremos uno de los más simples, la proposición (Eucl. XII, 10) sobre el cono.
Dada ABCD, la base circular del cilindro que tiene la misma base que el cono y igual altura, inscribimos el cuadrado ABCD; luego bisecamos los arcos subtendidos por los lados, y trazamos el polígono regular inscrito de ocho lados, y de manera similar trazamos el polígono regular inscrito de dieciséis lados, y así sucesivamente.
Construimos sobre cada polígono regular el prisma que tiene por base dicho polígono, obteniendo así prismas sucesivos inscritos en el cilindro, y de la misma altura que este.
Cada vez que duplicamos el número de lados en la base del prisma, eliminamos más de la mitad del volumen en el que el cilindro excede al prisma (puesto que eliminamos más de la mitad del exceso del área de la base circular sobre la del polígono inscrito, como en el libro XII de Euclides, 2). Supongamos ahora que V es el volumen del cono, y C el del