Por otro lado, el método puede utilizarse para hallar el centro de gravedad de X cuando se conocen de antemano su área o su volumen.
En este caso los elementos de X, y la propia X, tienen que aplicarse donde están, y los elementos de la figura o figuras conocidas tienen que aplicarse en el único punto fijo H al otro lado de C, y puesto que X, B y CH son conocidos, la proporción
B : X = CG : CH determina CG, siendo G el centro de gravedad de X.
El método mecánico se emplea para hallar (1) el área de cualquier segmento parabólico, (2) el volumen de una esfera y de un esferoide, (3) el volumen de un segmento de esfera y el volumen de un segmento recto de cada uno de los tres conicoides de revolución, (4) el centro de gravedad (a) de un hemisferio, (b) de cualquier segmento de esfera, (c) de cualquier segmento recto de un esferoide y un paraboloide de revolución, y (d) de un semicilindro, o, en otras palabras, de un semicírculo.
Arquímedes procede entonces a hallar los volúmenes de dos cuerpos sólidos, que son el tema especial del tratado. Los sólidos se originan de la siguiente manera:—
(1) Dada un cilindro inscrito en un paralelepípedo rectángulo de base cuadrada de tal manera que las dos bases del cilindro son círculos inscritos en las caras cuadradas opuestas, supóngase un plano trazado a través de un lado del cuadrado que contiene una base del cilindro y a través del diámetro paralelo de la base opuesta del cilindro. El plano corta un sólido con una superficie que se asemeja a la de una pezuña de caballo. Arquímedes demuestra que el volumen del sólido así cortado es la sexta parte del volumen del paralelepípedo.
(2) Un cilindro está inscrito en un cubo de tal manera que las bases del cilindro son círculos inscritos en dos caras cuadradas opuestas. Otro cilindro está inscrito de manera similar con respecto a otro par de caras