Arquímedes, por otra parte, aproxima tanto por exceso como por defecto; se acerca al área o volumen que debe medirse tomando figuras circunscritas cada vez más estrechas, así como inscritas, y comprimiendo de este modo, por decirlo así, la figura inscrita y la circunscrita en una sola, de modo que finalmente coinciden entre sí y con la figura que debe medirse. Pero sigue el método prudente al que los griegos siempre se adhirieron; nunca dice que una curva o superficie dada sea la forma límite de la figura inscrita o circunscrita; todo lo que afirma es que podemos acercarnos a la curva o superficie tanto como queramos.
La forma deductiva de la demostración por el método de exhausción es apta para oscurecer no solo el modo en que se llegó a los resultados, sino también el carácter real del procedimiento seguido.
Lo que Arquímedes hace realmente en ciertos casos es llevar a cabo lo que se ve, cuando se establecen los equivalentes analíticos, que son integraciones reales; esta observación se aplica a su investigación de las áreas de un segmento parabólico y de una espiral respectivamente, la superficie y el volumen respectivamente de una esfera y de un segmento de esfera, y el volumen de cualquier segmento de los sólidos de revolución de segundo grado.
El resultado se obtiene, por lo general, únicamente tras una larga serie de proposiciones preliminares, todas las cuales son eslabones de una cadena de argumentos cuidadosamente forjada con ese único propósito.
El método sugiere las tácticas de algún maestro de la estrategia que lo prevé todo, elimina todo lo que no conduce inmediatamente a la ejecución de su plan, domina cada posición en su orden y luego, de repente (cuando la propia elaboración del plan casi ha oscurecido, en la mente del espectador, su objetivo último), asesta el golpe definitivo.
Así leemos en Arquímedes proposición tras proposición cuyo alcance no es inmediatamente obvio, pero que más tarde encontramos utilizadas de