1 de oro desplazará w 1/W · V1 del fluido, y de (3) se sigue que un peso w 2 de plata desplaza w 2/W · V2 del fluido.
Por consiguiente
V = w1/W · V1 + w2/W · V2;
por lo tanto
- WV = w1V1 + w2V2, es decir,
(w1 + w2) V = w1V1 + w2V2, de modo que
- w1/w2 = (V2 − V) / (V − V1), lo que da la relación requerida de los pesos del oro y la plata contenidos en la corona.
Las últimas dos proposiciones del Libro I investigan el caso de un segmento de esfera que flota en un fluido cuando la base del segmento está (1) enteramente por encima y (2) enteramente por debajo de la superficie del fluido; y se demuestra que el segmento estará en ambos casos en equilibrio en la posición en la que el eje es vertical, siendo el equilibrio en el primer caso estable.