(Prop. 4).
Siguen tres proposiciones, las dos primeras de las cuales (props. 7 y 8) muestran que la figura cónica antes mencionada es en realidad un segmento de un cono circular oblicuo; esto se logra hallando efectivamente las secciones circulares. La prop. 9 ofrece una demostración similar de que cada sección elíptica de un conoide o esferoide es una sección de un cierto cilindro circular oblicuo (con un eje paralelo al eje del segmento del conoide o esferoide cortado por dicha sección elíptica).
Las proposiciones 11 a 18 muestran la naturaleza de las diversas secciones que cortan segmentos de cada conoide y esferoide, y que son círculos o elipses según que la sección sea perpendicular o esté inclinada oblicuamente respecto al eje del sólido; incluyen también ciertas propiedades de los planos tangentes, etc.
El verdadero asunto del tratado comienza con las Proposiciones 19 y 20; aquí se muestra cómo, trazando muchas secciones planas equidistantes entre sí y todas paralelas a la base del segmento del sólido, y describiendo cilindros (por lo general oblicuos) a través de cada sección plana con generatrices paralelas al eje del segmento y limitados por las secciones contiguas a ambos lados, podemos hacer figuras circunscritas e inscritas al segmento, compuestas por segmentos de cilindros con caras paralelas y que presentan el aspecto de los peldaños de una escalera.
Añadiendo respectivamente los elementos de las figuras inscritas y circunscritas y empleando el método de exhausción, Arquímedes halla los volúmenes de los respectivos segmentos de los sólidos de la manera aprobada (Props. 21, 22 para el paraboloide, Props. 25, 26 para el hiperboloide, y Props. 27-30 para los esferoides).
Los resultados se enuncian de esta forma: