esferoide «achatado» (o prolado). Como los volúmenes de los segmentos oblicuos de conoides y esferoides se hallan posteriormente en función del volumen de la figura cónica que tiene como base la base del segmento y como vértice el vértice del segmento, y dado que dicha base es así una sección elíptica de un cono circular oblicuo, Arquímedes llama a la figura cónica con base elíptica «segmento de un cono», a diferencia de un «cono».
Como de costumbre, se requiere una serie de proposiciones preliminares.
Arquímedes suma primero, en forma geométrica, ciertas series, incluida la progresión aritmética, a, 2a, 3a, ... na, y la serie formada por los cuadrados de estos términos (en otras palabras, la serie 1², 2², 3², ... n²); estas sumas son necesarias para la adición final de un número indefinido de elementos de cada figura, lo que equivale a una integración.
A continuación siguen dos propiedades de las cónicas (Prop. 3), y luego la determinación por el método de exhausción del área de una elipse