Arquímedes, o el teorema de Euclides X, 1). Menciona como demostrado por medio de él (1) los teoremas de que las áreas de los círculos están entre sí en la razón duplicada de sus diámetros, y de que los volúmenes de las esferas están en la razón triplicada de sus diámetros, y (2) las proposiciones probadas por Eudoxo sobre los volúmenes de un cono y una pirámide.
Nadie, dice, que él sepa, ha intentado todavía cuadrar el segmento limitado por una línea recta y una sección de un cono rectángulo (una parábola); pero él ha logrado demostrar, por medio del mismo lema, que el segmento parabólico es igual a cuatro tercios del triángulo sobre la misma base y de igual altura, y envía las demostraciones, primero «investigadas» por medio de la mecánica y en segundo lugar «demostradas» por la geometría.
La fraseología muestra que aquí, al igual que en el Método, Arquímedes consideraba que la investigación mecánica proporcionaba indicios más que una demostración de la verdad de la proposición, siendo únicamente la geometría pura la que aportaba la demostración absoluta requerida.
La demostración mecánica, con las proposiciones preliminares necesarias sobre la parábola (algunas de las cuales son meramente citadas, mientras que dos, evidentemente originales, son demostradas, Props. 4, 5), se extiende hasta la Prop. 17; la demostración geométrica, con otras proposiciones auxiliares, completa el libro (Props. 18-24).
La prueba mecánica recuerda a la del Método en algunos aspectos, pero es más elaborada en cuanto que los elementos del área de la parábola que deben medirse no son líneas rectas sino franjas estrechas.
Las figuras inscritas y circunscritas al segmento están compuestas por tiras tan estrechas y tienen un borde en forma de sierra; todos los elementos son trapecios, excepto dos, que son triángulos, uno en cada figura. Cada trapecio (o triángulo) es pesado, tal como está, contra otra