Uno de dichos sólidos, el dodecaedro, tiene doce caras pentagonales, y la construcción de un pentágono regular implica el corte de una línea recta «en razón extrema y media» (Eucl. II, 11, y VI, 30), que es un caso particular del método conocido como la aplicación de áreas.
No sabemos cuánto de esto se debió al propio Pitágoras; pero, en cualquier caso, todo el método fue desarrollado plenamente por los pitagóricos y demostró ser uno de los métodos geométricos más potentes.
El caso más elemental aparece en Euclides, I., 44, 45, donde se muestra cómo aplicar a una línea recta dada como base un paralelogramo que tenga un ángulo dado (digamos un rectángulo) y sea igual en área a cualquier figura rectilínea; esta construcción es el equivalente geométrico de la división aritmética.
El caso general es aquel en el que el paralelogramo, aun estando aplicado a la línea recta, se pasa de ella o se queda corto de tal modo que la parte del paralelogramo que sobresale, o falta, respecto del paralelogramo del mismo ángulo y anchura sobre la propia línea recta dada como base es semejante a otro paralelogramo dado (Eucl. VI., 28, 29).
Este es el equivalente geométrico de la forma más general de la ecuación cuadrática ax ± mx² = C, en la medida en que tiene raíces reales; mientras que la condición para que las raíces sean reales también fue deducida (= Eucl. VI., 27).
Es importante señalar que este método de aplicación de áreas fue utilizado directamente por Apolonio de Pérgamo al formular las propiedades fundamentales de las tres secciones cónicas, propiedades que corresponden a las ecuaciones de las cónicas en coordenadas cartesianas; y los nombres dados por Apolonio (por primera vez) a las cónicas respectivas están tomados de la teoría, significando parábola (παραβολή) «aplicación» (es decir, en este caso el paralelogramo se aplica