Arquímedes lo reduce al problema de dividir una línea recta AB en dos partes en un punto M tal que
MB : (una longitud dada) = (un área dada) : AM².
La solución de este problema con una determinación de los límites de posibilidad viene dada en un fragmento de Arquímedes, descubierto y conservado para nosotros por Eutocio en su comentario sobre el libro; se efectúan mediante los puntos de intersección de dos cónicas, una parábola y una hipérbola equilátera.
Siguen tres problemas de construcción, los dos primeros de los cuales consisten en construir un segmento de esfera semejante a un segmento dado, y que tenga (a) su volumen, (b) su superficie, iguales a los de otro segmento dado de una esfera.
Las últimas dos proposiciones son interesantes. La Prop. 8 demuestra que, si V, V′ son los volúmenes, y S, S′ las superficies, de dos segmentos en los que una esfera es dividida por un plano, perteneciendo V y S al segmento mayor, entonces
S² : S′ ² > V : V′ > S3/2 : S′ 3/2.
La prop. 9 prueba que, de todos los segmentos de esfera que tienen superficies iguales, el hemisferio es el mayor en volumen.
La medida de un círculo.
Este tratado, en la forma en que nos ha llegado, contiene únicamente tres proposiciones; la segunda, al ser una deducción sencilla de las Props. 1 y 3, está fuera de lugar en la medida en que utiliza el resultado de la Prop. 3.
En la Prop. 1, Arquímedes inscrita y circunscribe a un círculo una serie de polígonos regulares sucesivos, comenzando por un cuadrado, y