las superficies de las figuras están en la razón duplicada, y sus volúmenes en la razón triplicada, de sus lados.
Luego demuestra que las superficies y los volúmenes de las figuras inscritas y circunscritas son, respectivamente, menores y mayores que la superficie y el volumen, respectivamente, a los que las proposiciones principales declaran que son iguales la superficie y el volumen de la esfera (Propos. 25, 27, 30, 31 Cor.).
Posee ahora todo el material para aplicar el método de exhausción y demuestra así las principales proposiciones sobre la superficie y el volumen de la esfera.
El resto del libro aplica el mismo procedimiento a un segmento de la esfera.
Las superficies de revolución están inscritas y circunscritas en un segmento menor que un hemisferio, y el teorema sobre la superficie del segmento queda finalmente demostrado en la Prop. 42.
La Prop. 43 deduce la superficie de un segmento mayor que un hemisferio.
La Prop. 44 da el volumen del sector de la esfera que incluye cualquier segmento.
El Libro II comienza con el problema de hallar una esfera igual en volumen a un cono o cilindro dado; esto requiere la solución del problema de las dos medias proporcionales, la cual se da por supuesta. La prop. 2 deduce, por medio de I, 44, una expresión para el volumen de un segmento de esfera, y las props. 3 y 4 resuelven los importantes problemas de cortar una esfera dada mediante un plano de modo que ( a ) las superficies, ( b ) los volúmenes, de los segmentos guarden entre sí una razón dada. La solución del segundo problema (prop. 4) es difícil.