SECT. IX.

Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq; sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in Page 143 minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 1 / 2 de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1 1 / 2 ad 1, adeoq; nn / mm - 3 ualeat 1 / 64 - 3 vel 1 / 16 - 3 vel 1 / 4 - 3 vel 4 / 9 - 3, erit vis ut A 1 / 64 - 3 vel A 1 / 16 - 3 vel A 1 / 4 - 3 vel A 4 / 9 - 3 , id est reciproce ut A 3 - 1 / 64 vel A 3 - 1 / 16 vel A 3 - 1 / 4 vel A 3 - 4 / 9 . Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; A nn / mm - 3 æqualis A -2 seu 1 ÷ A 2 , & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut 3 / 4 vel 2 / 3 vel 1 / 3 vel 1 / 4 ad 1, adeoq; A nn / mm - 3 æqualis A 16 / 9 - 3 vel A 9 / 4 - 3 vel A 9 - 3 vel A 16 - 3 & propterea Vis aut reciproce ut A 11 / 9 vel A 3 / 4 , aut directe ut A 6 vel A 13 . Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363 gr. ad 360 gr. adeoq; A nn / mm - 3 erit æquale A -265707÷131769 , & propterea Vis centripeta reciproce ut A 265707÷131769 seu A 2 4 / 243 . Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 60 3 / 4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.