Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quæ tangat rectam TR, transeatq; per punctum quodvis P extra tangentem datum, quæq; similis sit figuræ apb, axe transverso ab & umbilicis s, h descriptæ. In tangentem TR demitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV æqualis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq æquales; centroq; q intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe Page 66 circulum secantem figuram apb in p. Junge sp & age SH quæ sit ad sh ut est SP ad sp quæq; angulum PSH angulo psh & angulum VSH angulo psq æquales constituat. Deniq; umbilicis S, H, axe distantiam VH æquante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quæ sit ad sp ut est sh ad sq, quæq; constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq æquales, triangula svh, spq erunt similia, & propterea vh erit ad pq ut est sh ad sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq. Æquantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh est VH ad SH ut vh ad sh, id est, axis Conicæ actionis jam descripta: ad illius umbilicorum intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh, & propterea figura jam descripta similis est figuræ apb. Transit autem hæc figura per punctum P, eo quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH æquatur ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR tangit eadem rectam TR. Q. E. F. Page 67
Lemma XVI.
*A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt.*