*Si recta*AE*& Curva*AC*positione datæ se mutuo secent in angulo dato*A*, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur*BD*,*EC*, curvæ occurrentes in*B*,*C*; dein puncta*B*,*C*accedant ad punctum*A*: dico quod areæ triangulorum*ADB*,*AEC*erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.*
Etenim in AD producta capiantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinatæ db, ec ordinatis DB, EC parallelæ & proportionales. Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi ABC similis, & recta Ag tangatur curva utraq; in A; & secantur ordinatim applicatæ in F, G, f, g. Tum coeant puncta B, C cum puncto A, & angulo cAg evanescente, coincident areæ curvilineæ Abd, Ace cum rectilineis Afd, Age, adeoq; per Lemma V, erunt in Page 32 duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areæ ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areæ ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. Q. E. D.
Lemma X.
*Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.*
Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ ABD, ACE his ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q. E. D.
Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.
Lemma XI.
*Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini.*