ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad bd quad. & ex æquo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD × bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD × bt ÷ Sb ad bd quad. ÷ Sb , adeoq; (ob æquales rationes bt ÷ Sb & BD ÷ SB ) ut BD quad. ÷ SB ad bd quad. ÷ Sb Q. E. D.
Corol. 1. Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.
Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum Page 42 applicata ad radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3. Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum, vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice versa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione præcedentium ad hosce casus applicata.
Scholium.
Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum colligerunt etiam nostrates Wrennus, Hookius & Halleus) & propterea quæ spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam Page 43 continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur