urgetur versus M a superficie, proportionalis; PHTF recta axi parallela per corpus transiens, & GF , IH rectæ a punctis G & I in parallelam illam PHTF perpendiculariter demissæ. Dico jam quod area AOP , radio OP ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam vis TG (per Legum Corol. 2.) resolvitur in vires TF , FG ; & vis TI in vires TH , HI : Vires autem TF , TH agendo secundum lineam PF plano AOP perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P , quo Trajectoriæ vestigium AP in hoc plano describitur, idem est ac si vires TF , TH tollerentur, & corpus solis viribus FG , HI agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summam virium FG & HI æquante, describeret curvam AP . Sed vi tali describetur area AOP (per Prop. I.) tempori proportionalis. Q. E. D.
Corol. Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra Page 161 duo vel plura in eadem quavis recta CO data tendentibus, describeret in spatio libero lineam quamcunq; curvam ST, foret area AOP tempori semper proportionalis.
Prop. LVI. Prob. XXXVII.
*Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.*
Stantibus quæ in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco S in Trajectoriam inveniendam STtR & ex data ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriæ suæ particulam Tt, sitq; Pp vestigium ejus plano AOP descriptum. Jungatur Op, & circelli centro T intervallo Tt in superficie curva descripti sit PpQ vestigium Ellipticum in eodem plano OAPp descriptum. Et ob datum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa PpQ. Cumq; area POp sit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabitur Op positione, & inde dabitur communis ejus & Ellipseos intersectio p, una cum angulo OPp, in quo Trajectoriæ vestigium APp secat lineam OP. Inde autem invenietur Trajectoriæ vestigium illud APp, eadem methodo qua curva linea VIKk in Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit. Tum ex singulis vestigii punctis P erigendo ad planum AOP perpendicula PT superficiei curvæ occurrentia in T, dabuntur singula Trajectoriæ puncta T. Q. E. I.
Page 162