Los 8 quesos se pueden retirar en 33 movimientos, 10 quesos en 49 movimientos y 21 quesos en 321 movimientos. Daré mi método general de solución para los casos de 3, 4 y 5 taburetes.
Escribe la siguiente tabla hasta la longitud que sea necesaria:—
| Taburetes. | Número de quesos. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Números Naturales. |
| 4 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | Números triangulares. |
| 5 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | Pirámides triangulares. |
| Número de movimientos. | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 | |
| 4 | 1 | 5 | 17 | 49 | 129 | 321 | 769 | |
| 5 | 1 | 7 | 31 | 111 | 351 | 1023 | 2815 |
La primera fila contiene los números naturales. La segunda fila se halla sumando los números naturales desde el principio. Los números de la tercera fila se obtienen sumando los números de la segunda fila desde el principio. La cuarta fila contiene las potencias sucesivas de 2, menos 1.
La serie siguiente se encuentra duplicando sucesivamente cada número de esa serie y sumando el número que está encima del lugar donde se escribe el resultado. La última fila se obtiene de la misma manera.
Esta tabla ofrecerá de inmediato soluciones para cualquier número de quesos con tres taburetes, para números triangulares con cuatro taburetes y para números piramidales con cinco taburetes. En estos casos siempre hay un único método de solución, es decir, de apilar los quesos.
En el caso de tres taburetes, la primera y la cuarta fila nos dicen que se pueden quitar 4 quesos en 15 movimientos, 5 en 31, 7 en 127.
La segunda y la quinta fila muestran que, con cuatro taburetes, se pueden quitar 10 en 49, y 21 en 321 movimientos.
Asimismo, con cinco taburetes, encontramos a partir de la tercera y sexta fila que 20 quesos requieren 111 movimientos, y 35 quesos 351 movimientos.
Pero también aprendemos de la tabla el método necesario de apilamiento. Así, con cuatro taburetes y 10 quesos, la columna anterior muestra que debemos hacer pilas de 6 y 3, lo cual tomará 17 y 7 movimientos respectivamente; es decir, primero apilamos los seis quesos más pequeños en 17 movimientos en un taburete; luego apilamos los siguientes 3 quesos en otro taburete en 7 movimientos; después quitamos el queso más grande en 1 movimiento; luego volvemos a colocar los 3 en 7 movimientos; y finalmente volvemos a colocar los 6 en 17: completando en total los 49 movimientos necesarios.
De manera similar se nos dice que con cinco taburetes 35 quesos deben formar pilas de 20, 10 y 4, las cuales tomarán respectivamente 111, 49 y 15 movimientos.
Si el número de quesos en el caso de cuatro taburetes no es triangular, y en el caso de cinco taburetes piramidal, entonces habrá más de una forma de hacer las pilas, y se requerirán tablas auxiliares. Este es el caso de los 8 quesos del Rove. Pero dejaré que el lector resuelva por sí mismo la extensión del problema.