Cuando Montucla, en su edición de las Recreaciones matemáticas de Ozanam, declaró que «No se pueden encontrar más de tres triángulos rectángulos, iguales entre sí, en números enteros, ¡pero podemos hallar tantos como queramos en fracciones!», pasó por alto curiosamente el hecho obvio de que, si a todos los lados se les da un denominador común y luego se cancela dicho denominador, ¡se obtiene la respuesta requerida en números enteros!
Todo lector debe saber que si tomamos dos números cualesquiera, m y n, entonces m2 + n2, m2 - n2 y 2mn serán los tres lados de un triángulo rectángulo racional. Aquí m y n se denominan números generadores. Para formar tres de tales triángulos de igual área, utilizamos la siguiente fórmula simple, donde m es el número mayor:—
mn + m2 + n2 = a
m2 - n2 = b
2mn + n2 = c
Ahora bien, si formamos tres triángulos a partir de los siguientes pares de generadores, a y b, a y c, a y b + c, todos ellos serán de igual área. Este es el pequeño problema respecto al cual Lewis Carroll dice en su diario (véase su Life and Letters por Collingwood, p. 343): «Me quedé despierto anoche hasta las 4 a.m., con un problema tentador que me enviaron desde Nueva York, "hallar tres triángulos rectángulos de lados racionales e iguales". ¡Encontré dos... pero no pude encontrar tres!».
La siguiente es una fórmula sutil por medio de la cual siempre podemos hallar un T.R.A. de área igual a la de cualquier T.R.A. dado. Sean z = hipotenusa, b = base, h = altura, a = área del triángulo dado; entonces todo lo que tenemos que hacer es formar un T.R.A. a partir de los generadores z2 y 4a, y dar a cada lado el denominador 2z (b2 - h2), y obtendremos la respuesta requerida en fracciones. Si multiplicamos los tres lados del triángulo original por el denominador, obtendremos de inmediato una solución en números enteros.
La respuesta a nuestro acertijo en los números más pequeños posibles es la siguiente:—
| Primer Príncipe | 518 | 1320 | 1418 |
|---|---|---|---|
| Segundo Príncipe | 280 | 2442 | 2458 |
| Tercer Príncipe | 231 | 2960 | 2969 |
| Cuarto Príncipe | 111 | 6160 | 6161 |
El área en todos los casos es de 341.880 furlongs cuadrados. Debo abstenerse aquí de mostrar plenamente cómo obtengo estas cifras. Explicaré, sin embargo, que los tres primeros triángulos se obtienen, de la manera indicada, a partir de los números 3 y 4, los cuales dan los generadores 37, 7; 37, 33; 37, 40. Estos tres pares de números resuelven la ecuación indeterminada a3b - b3a = 341.880. Si podemos encontrar otro par de valores, el asunto está hecho. Estos valores son 56, 55, cuyos generadores dan el último triángulo.
La siguiente mejor respuesta que he encontrado se deriva de 5 y 6, que dan los generadores 91, 11; 91, 85; 91, 96. El cuarto par de valores es 63, 42.
El lector comprenderá por lo que he escrito más arriba que no hay límite para el número de T.R.A. de lados racionales y de igual área que pueden encontrarse en números enteros.