El menor número posible de movimientos con los que se puede resolver este rompecabezas es 118. Daré la solución completa.
Las figuras negras sobre discos blancos se mueven en el sentido de las agujas del reloj, y las figuras blancas sobre discos negros en sentido contrario. Los siguientes son los números en el orden en que se mueven. Si tienes que hacer un movimiento simple o un salto, se deducirá claramente de la posición, ya que nunca podrás tener otra alternativa.
Los movimientos encerrados entre paréntesis deben repetirse cinco veces: 6, 7, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 8, 9, 10, 11 (6, 5, 4, 3, 2, 1), 6, 5, 4, 3, 2, 12, (7, 8, 9, 10, 11, 12), 7, 8, 9, 10, 11, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 9, 10, 11, 4, 3, 2, 10, 11, 2.
De este modo habremos realizado 118 movimientos dentro de las condiciones, las ranas negras habrán cambiado de sitio con las blancas, y el 1 y el 12 estarán uno al lado del otro en las posiciones estipuladas.
La solución general para este rompecabezas es de 3n2 + 2n - 2 movimientos, siendo n el número de ranas de cada color. La ley que rige la secuencia de movimientos se descubre fácilmente mediante el examen de los casos más simples, donde n = 2, 3 y 4.
Si en lugar de que el 11 y el 12 cambien de lugar, el 6 y el 7 deben intercambiarse, la expresión es de n2 + 4n + 2 movimientos. Si le damos a n el valor de 6, como en el ejemplo del Anillo de las Ranas, el número de movimientos sería 62.
Para una solución general del caso en el que las ranas de un color invierten su orden, dejando el espacio en blanco en la misma posición, y a cada rana se le permite moverse en cualquier dirección (saltando, por supuesto, por encima de las de su propio color), véase «The Grasshopper Puzzle» en A. in M., p. 193.