Este rompecabezas es a la vez fácil y difícil, ya que resulta muy sencillo encontrar uno de los multiplicadores, que es el 86. Si multiplicamos 8 por 86, lo único que tenemos que hacer es colocar el 6 delante y el 8 detrás para obtener la respuesta correcta, 688. Pero el segundo número no se puede encontrar mediante meras pruebas. Es el 71, y el número que debe multiplicarse no es inferior a 1639344262295081967213114754098360655737704918032787. Si quieres multiplicar esto por 71, todo lo que tienes que hacer es colocar otro 1 al principio y otro 7 al final, ¡un considerable ahorro de trabajo! Estos dos, y el ejemplo mostrado por el mago, son los únicos multiplicadores de dos cifras, pero el número que se va a multiplicar siempre puede aumentarse. Así, si le antepones al 41096 el número 41095890, repetido un número cualquiera de veces, el resultado siempre podrá multiplicarse por 83 de la peculiar manera del mago.
Si sumamos las cifras de cualquier número y luego, si es necesario, volvemos a sumar, al final obtenemos un número de una sola cifra. A esto lo llamo la «raíz digital». Así, la raíz digital de 521 es 8, y la de 697 es 4. Este análisis digital se trata extensamente en A. in M. Ahora bien, es evidente que las raíces digitales de los dos números requeridos por el acertijo deben producir la misma raíz en suma y producto. Esto solo puede suceder cuando las raíces de los dos números son 2 y 2, o 9 y 9, o 3 y 6, o 5 y 8. Por lo tanto, el multiplicador de dos cifras debe tener una raíz digital de 2, 3, 5, 6, 8 o 9. Hay diez números de este tipo en cada caso. Escribo los sesenta, luego tacho todos aquellos números en los que la segunda cifra es mayor que la primera, y en los que las dos cifras son iguales (treinta y seis números en total); también todos los números restantes en los que la primera cifra es impar y la segunda cifra es par (siete números); también todos los múltiplos de 5 (tres números más). Los números 21 y 62 los desecho a simple vista, por razones en las que no entraré. Luego me quedan, de los sesenta originales, solo los siguientes doce números: 83, 63, 81, 84, 93, 42, 51, 87, 41, 86, 53 y 71. Estos son los únicos multiplicadores posibles que realmente tengo que examinar.
Mi método es ahora tan curioso como sencillo en su funcionamiento. Probando primero con el 83, le resto 10 y lo llamo 73. Añadiendo ceros a la segunda cifra, digo que si 30000, etc., deja alguna vez un resto de 43 al ser dividido por 73, el dividendo será el multiplicador requerido para el 83. Consigo el 43 de este modo.
El único multiplicador de 3 que produce un 8 en la posición de las unidades es el 6. Por lo tanto, multiplico 73 por 6 y obtengo 438, o 43 tras descartar el 8. Ahora, 300.000 dividido por 73 deja el resto 43, y el dividendo es 4.109. A esto le sumo el 6 mencionado antes y obtengo 41.096 x 83, el ejemplo dado en la página 129.
Al probar con los números pares hay dos casos que considerar. Así, tomando el 86, podemos decir que si 60000, etc., al dividirlo entre 76 deja un resto de 22 o 60 (porque tanto como producen un 8), obtenemos una solución.
Pero rechazo el primero tras una inspección, y veo que 60 dividido entre 76 es 0, dejando un resto de 60. Por tanto, , el otro ejemplo. Se comprobará en el caso del 71 que 100000, etc., dividido entre 61 da un resto de 42 () tras producir el largo dividendo al principio de este artículo, con el 7 añadido.
Los demás multiplicadores no dan resultado, por lo que 83, 86 y 71 son los únicos tres multiplicadores posibles.
Quienes estén familiarizados con el principio de los decimales periódicos (tal como se explica más o menos en mi siguiente nota sobre el núm. 83, «El problema de la cinta») comprenderán las condiciones bajo las cuales los residuos se repiten después de ciertos períodos, y solo considerarán necesario realizar divisiones largas en dos o tres casos.
De ello se deduce claramente que existe un número ilimitado de multiplicandos para cada multiplicador.