Pero si deseáis convertir 1/3, 1/6 o 1/7, vuestra operación de división nunca terminará, sino que obtendréis estos decimales: .33333, etc., .166666, etc., y .142857142857142857, etc., donde, en el primer caso, el 3 sigue repitiéndose por los siglos de los siglos; en el segundo caso el 6 es el repetidor, y en el último caso obtenemos el período periódico de 142857. En el caso de 1/17 (en «El problema de la cinta») encontramos que el período circulante es .0588235294117647.
Ahora bien, en la suma de división anterior, los sucesivos restos son 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, etc., y estos números los he insertado alrededor del anillo interior del diagrama. Se verá que cada número del 1 al 16 aparece una vez, y que si multiplicamos nuestro número de cinta por cualquiera de los números del anillo interior, su posición indica exactamente el punto en el que comenzará el producto. Así, si multiplicamos por 4, el producto será 235, etc.; si multiplicamos por 6, 352, etc. Por lo tanto, podemos multiplicar por cualquier número del 1 al 16 y obtener el resultado deseado.
El quid del enigma es este: cualquier número primo, con la excepción del 2 y el 5 (que son los factores de 10), dividirá exactamente y sin resto a un número formado por tantos nueves como el propio número, menos uno. Así, 999999 (seis nueves) es divisible por 7, dieciséis nueves lo son por 17, dieciocho nueves por 19, y así sucesivamente. Esto es siempre así, aunque con frecuencia bastarán menos nueves; puesto que un nueve es divisible por 3, dos por 11, seis por 13, momento en el cual nuestra regla de la cinta para multiplicadores consecutivos se descompone y entra en juego otra ley.